ABC notation渲染测试
ABC记谱法（ABC Music Notation）是19世纪由克里斯·瓦尔莎发明的音乐符号系统，通过字母A至G记录音高，并借助附加符号表示变化音与音长参数 。该记谱法采用ASCII字符集编码音符，具备文本化特征，便于计算机处理音乐信息。部分现代音乐软件基于其兼容性，将其应用于乐谱存储。 目前新增的播放功能已经完成，初次加载midi需要梯子。 两只老虎 源代码： 12345678910111213<div class="abcjs-score">X:1T:两只老虎C:法国儿歌M:4/4L:1/4Q:1/4=120K:CC D E C | C D E C | E F G2 | E F G2 |w: 两 只 老 虎， | 两 只 老 虎， | 跑 得 快， | 跑 得 快， |G/A/G/F/ E C | G/A/G/F/ E C | D G, C2 | D G, C2 |w: 一 只 没 有 眼 睛， | 一 只 没 有 尾 巴， | 真 奇 怪， | 真 奇 怪。 |</div> 渲染效果： X:1 T:两只老虎 C:法国儿歌 M:...
Front-matter 示例及页面测试
Front-matter是markdown文件最上方以“---”分隔的区域，用于指定个别档案的变数。Page Front-matter用于页面配置，Post Front-matter用于文章页配置。
常数变易法求解非齐次线性微分方程
常数变易法求解一阶非齐次线性微分方程 对于一阶非齐次线性微分方程 y′+p(x)y=q(x)y' + p(x)y = q(x) y′+p(x)y=q(x) 先用分离变量法求解对应的齐次方程 y′+p(x)y=0⇒y=Ce−∫p(x)dx\begin{aligned} & y' + p(x)y = 0 \\ \Rightarrow & y = C e^{- \int p(x)dx} \end{aligned} ⇒y′+p(x)y=0y=Ce−∫p(x)dx 将 CCC 改为 C(x)C(x)C(x)，令 y=C(x)e−∫p(x)dxy = C(x) e^{- \int p(x)dx}y=C(x)e−∫p(x)dx，代入原非齐次方程得 [C′(x)e−∫p(x)dx−p(x)e−∫p(x)dx]+p(x)e−∫p(x)dx=q(x)⇒C′(x)e−∫p(x)dx=q(x)⇒C(x)=∫q(x)e∫p(x)dxdx+C\begin{aligned} & \left[ C'(x) e^{- \int p(x)dx} - p(x)...
wordcloud库和jieba库的使用
源代码：点击此处下载 wordcloud库的简单示范 1234567891011121314151617181920from wordcloud import WordCloudfrom wordcloud import ImageColorGeneratorfrom PIL import Imageimport numpy as nptxt = "Python Java C++ JavaScript PHP Ruby Swift Kotlin Go Rust" # 示例文本# 创建词云对象，配置参数c = WordCloud( width=400, height=400, font_path=None, repeat=True, # 表示单词是否可以重复出现 mask=np.array(Image.open("love.png")), # 给词云生成轮廓用的参数,不需要做成轮廓的背景应为白色 background_color="white", # 背景颜色 max_wo...
定积分的几何应用
1 原函数存在性和可积性 1.1 函数可积的充分条件（判定条件） 若 f(x)f(x)f(x) 在 [a,b][a,b][a,b] 上连续，则 f(x)f(x)f(x) 可积 若 f(x)f(x)f(x) 在 [a,b][a,b][a,b] 上只有有限个第一类间断点，则 f(x)f(x)f(x) 可积 若 f(x)f(x)f(x) 在 [a,b][a,b][a,b] 上有界，只有有限个间断点，则 f(x)f(x)f(x) 可积 若 f(x)f(x)f(x) 在 [a,b][a,b][a,b] 上单调有界，则 f(x)f(x)f(x) 可积 1.2 函数存在原函数的充分条件（判定条件） 若 f(x)f(x)f(x) 在 [a,b][a,b][a,b] 上连续，则 f(x)f(x)f(x) 在 [a,b][a,b][a,b] 上存在原函数 F(x)F(x)F(x) 若 f(x)f(x)f(x) 在 [a,b][a,b][a,b] 上有第一类间断点，则 f(x)f(x)f(x) 不存在原函数 若 f(x)f(x)f(x) 在 [a,b][a,b][a,b] 上有无穷间断点，则 f...
合同变换法
合同变换法 已知二次型 f=xTAxf = x^T A xf=xTAx，求变换 x=Pyx=Pyx=Py，使得二次型化为标准型 f=yTΛyf=y^T \Lambda yf=yTΛy，且 PTAP=ΛP^T A P = \LambdaPTAP=Λ。该过程的实质是一次合同变换，即 [A,E]→对A,E作初等行变换，对A作相应的初等列变换[Λ,PT][A,E] \xrightarrow{对A,E作初等行变换，对A作相应的初等列变换} [\Lambda, P^T] [A,E]对A,E作初等行变换，对A作相应的初等列变换[Λ,PT] 具体的操作看下面几个例子。 一、实对称矩阵 A 对角元素均不为零 【例 1】将二次型 f(x1,x2,x3)=x12+5x22+5x32+2x1x2−4x1x3f(x_1, x_2, x_3) = x_1^2 + 5x_2^2 + 5x_3^2 + 2x_1x_2 - 4x_1x_3f(x1,x2,x3)=x12+5x22+5x32+2x1x2−4x1x3 化为标准型。 【解】由合同变换得 [11−2100150010−205001]→...
求矩阵高次幂的两种另类方法
市面上许多资料给出的计算矩阵高次幂的方法，无外乎有这几种： 分块矩阵求解高次幂； 先求低次方幂，然后通过找规律推出通项公式； 将矩阵拆分为秩 1 矩阵和数量矩阵，使用秩 1 矩阵的性质求解； 将矩阵拆分为幂 000 矩阵和数量矩阵进行求解； 将矩阵进行相似对角化，然后利用 A=PΛP−1A = P \Lambda P^{-1}A=PΛP−1 计算矩阵高次幂。 下面介绍计算矩阵高次幂两种比较“另类”的方法：（1）运用哈密顿凯莱定理；（2）运用特征方程。（但是依然建议采用常规解法，上述两种解法不推荐首先使用！） 【方法一】运用哈密顿凯莱定理 【哈密顿凯莱定理】设 AAA 是 nnn 阶矩阵，其特征多项式为 f(λ)=∣λE−A∣=anλn+...+a1λ+a0f(\lambda) = |\lambda E - A| = a_n \lambda^n + ... + a_1 \lambda + a_0f(λ)=∣λE−A∣=anλn+...+a1λ+a0，记 f(A)=anAn+...+a1A+a0Ef(A) = a_n A^n + ... + a_1 A + a_0 Ef(A...
正定矩阵的分解方法
设三阶正定矩阵 AAA，若矩阵 AAA 的特征值为 λ1,λ2,λ3\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3λ1,λ2,λ3，对应的单位化特征向量分别为 α1,α2,α3\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3α1,α2,α3 且两两正交，则存在正交矩阵 Q=(α1,α2,α3)Q = (\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)Q=(α1,α2,α3)，使得 QTAQ=Λ=[λ1λ2λ3]Q^{\mathrm{T}}AQ = \Lambda = \begin{bmatrix} \lambda_1 & & \\ & \lambda_2 & \\ & & \lambda_3 \end{bmatrix}QTAQ=Λ=λ1λ2λ3 现得到 A=QΛQTA = Q \Lambda Q^{\mathrm{T}}A=QΛQT，令 Λ1=[λ1λ2λ3]\Lambda_1 = \begin{bmatrix} \sqrt{\lambda_1} & & \\ ...
运用谱分解定理反求实对称矩阵
谱分解定理 设三阶实对称矩阵 AAA，若矩阵 AAA 的特征值为 λ1,λ2,λ3\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3λ1,λ2,λ3，对应的单位化特征向量分别为 α1,α2,α3\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3α1,α2,α3 且两两正交，则 A=λ1α1α1T+λ2α2α2T+λ3α3α3TA = \lambda_1 \alpha_1 \alpha_1^{\mathrm{T}} + \lambda_2 \alpha_2 \alpha_2^{\mathrm{T}} + \lambda_3 \alpha_3 \alpha_3^{\mathrm{T}}A=λ1α1α1T+λ2α2α2T+λ3α3α3T。 【注 1】在考研范围内，只适用于实对称矩阵。 【注 2】特征向量必须两两正交且单位化！ 证明：三阶实对称矩阵 AAA 可相似对角化，存在正交矩阵 Q=(α1,α2,α3)Q=(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)Q=(α1,α2,α3)，使得 QTAQ=Λ=[λ1λ2λ3]Q^{\m...
相似、合同、等价
一、相似矩阵 1. 特征值与特征向量 （1）定义 若 nnn 阶矩阵 AAA 满足 Aα=λα(λ≠0)A\alpha = \lambda\alpha (\lambda \neq 0)Aα=λα(λ=0)，则 λ\lambdaλ 是 AAA 的特征值，α\alphaα 是 AAA 的属于 λ\lambdaλ 的特征向量，∣λE−A∣=0|\lambda E-A|=0∣λE−A∣=0 为 AAA 的特征多项式。 【注】特征向量不能是零向量！ （2）特征值的性质 （2.1）设 AAA 为 nnn 阶矩阵，特征值为 λ1,λ2,...,λn\lambda_1, \lambda_2, ..., \lambda_nλ1,λ2,...,λn，则： λ1+λ2+...+λn=tr(A)=a11+a22+...+ann\lambda_1 + \lambda_2 + ... + \lambda_n = tr(A) = a_{11} + a_{22} + ... + a_{nn}λ1+λ2+...+λn=tr(A)=a11+a22+...+ann λ1λ2⋅⋅⋅λn=∣A∣...