二阶常系数线性非齐次微分方程的解

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一、定义

二阶常系数线性齐次微分方程：

$$y''(x)+py'(x)+qy(x)=0$$

二阶常系数线性非齐次微分方程：

$$y''(x)+py'(x)+qy(x)=g(x)$$

二阶常系数线性非齐次微分方程的通解：

$$y(x)=齐次通解+非齐次特解=y_0(x)+y^*(x)$$

二、齐次通解

特征方程为

$$r^2+pr+q=0$$

根据特征方程的根$r_1,r_2$的情况，设通解为

$$y_0(x)= \begin{cases} C_1e^{r_1x}+C_2e^{r_2x}, & r_1 \neq r_2 \\ (C_1+C_2x)e^{r_1x}, & r_1 = r_2 \\ e^{\alpha x}[C_1\cos(\beta x) + C_2\sin(\beta x)], & r = \alpha \pm \mathrm{i} \beta \end{cases}$$

三、非齐次特解

1. $\alpha$不是特征根

$g(x)$的形式	特解$y^*(x)$的形式
$a$	$A$
$ax+b$	$Ax+B$
$ax^2+bx+c$	$Ax^2+Bx+C$
$ae^{\alpha x}$	$Ae^{\alpha x}$
$(ax+b)e^{\alpha x}$	$(Ax+B)e^{\alpha x}$
$(ax^2+bx+c)e^{\alpha x}$	$(Ax^2+Bx+C)e^{\alpha x}$

2. $\alpha$是特征单重根

（1）$\alpha \neq 0$时

$g(x)$的形式	特解$y^*(x)$的形式
$ae^{\alpha x}$	$xAe^{\alpha x}$
$(ax+b)e^{\alpha x}$	$x(Ax+B)e^{\alpha x}$
$(ax^2+bx+c)e^{\alpha x}$	$x(Ax^2+Bx+C)e^{\alpha x}$

（2）$\alpha=0$时

$g(x)$的形式	特解$y^*(x)$的形式
$a$	$xA$
$ax+b$	$x(Ax+B)$
$ax^2+bx+c$	$x(Ax^2+Bx+C)$

3. $\alpha$是特征二重根

（1）$\alpha \neq 0$时

$g(x)$的形式	特解$y^*(x)$的形式
$ae^{\alpha x}$	$x^2Ae^{\alpha x}$
$(ax+b)e^{\alpha x}$	$x^2(Ax+B)e^{\alpha x}$
$(ax^2+bx+c)e^{\alpha x}$	$x^2(Ax^2+Bx+C)e^{\alpha x}$

（2）$\alpha=0$时

$g(x)$的形式	特解$y^*(x)$的形式
$a$	$x^2A$
$ax+b$	$x^2(Ax+B)$
$ax^2+bx+c$	$x^2(Ax^2+Bx+C)$

4. $\alpha+\mathrm{i}\beta$不是特征根

$g(x)$的形式	特解$y^*(x)$的形式
$e^{\alpha x}[a\cos(\beta x) + b\sin(\beta x)]$	$e^{\alpha x}[A\cos(\beta x) + B\sin(\beta x)]$
$e^{\alpha x}[(ax+b)\cos(\beta x) + (cx+d)\sin(\beta x)]$	$e^{\alpha x}[(Ax+B)\cos(\beta x) + (Cx+D)\sin(\beta x)]$
$e^{\alpha x}[(ax^2+bx+c)\cos(\beta x) + (dx^2+ex+f)\sin(\beta x)]$	$e^{\alpha x}[(Ax^2+Bx+C)\cos(\beta x) + (Dx^2+Ex+F)\sin(\beta x)]$

5. $\alpha+\mathrm{i}\beta$是特征根

$g(x)$的形式	特解$y^*(x)$的形式
$e^{\alpha x}[a\cos(\beta x) + b\sin(\beta x)]$	$xe^{\alpha x}[A\cos(\beta x) + B\sin(\beta x)]$
$e^{\alpha x}[(ax+b)\cos(\beta x) + (cx+d)\sin(\beta x)]$	$xe^{\alpha x}[(Ax+B)\cos(\beta x) + (Cx+D)\sin(\beta x)]$
$e^{\alpha x}[(ax^2+bx+c)\cos(\beta x) + (dx^2+ex+f)\sin(\beta x)]$	$xe^{\alpha x}[(Ax^2+Bx+C)\cos(\beta x) + (Dx^2+Ex+F)\sin(\beta x)]$

6. 一个小技巧稍微降低运算量

求解二阶常系数线性非齐次微分方程时，需要对特解进行二次求导，若特解是两个含$x$项的乘积，则求导时需要不断使用求导乘法法则，且需代入方程求解系数，这个过程的计算量比较大。有一个小技巧可以稍微降低运算量：

$$\begin{aligned} &若特解是两个含x项的乘积，可将两项分别记为y_1和y_2 \\ &此时特解为：y^*=y_1y_2 \\ &先对特解求一阶导可得：(y^*)'=y_1'y_2+y_1y_2' \\ &再对特解求二阶导可得：(y^*)''=y_1''y_2+2y_1'y_2'+y_1y_2'' \\ &计算y_1'，y_1''，y_2'，y_2''，代入以上两式，整理并化简 \\ &最后代入原方程：y''(x)+py'(x)+qy(x)=0 \\ \end{aligned}$$

建议将$(y^*)'$和$(y^*)''$的式子记下来，以加快运算速度。

【例】$y''-3y'+2y = 10e^{-x} \sin x$

$$\begin{aligned} &特征方程：r^2-3r+2=0 \\ &由此设齐次通解：y_0=C_1e^x+C_2e^{2x} \\ &设非齐次特解：y^*=e^{-x}(A \sin x+B \cos x) \\ &记：y_1=e^{-x}，y_2=A \sin x+B \cos x，则：y^*=y_1y_2 \\ &有：y_1'=-e^{-x}，y_2'=A \cos x-B \sin x \\ &有：y_1''=e^{-x}，y_2''=-A \sin x-B \cos x \\ &所以有：(y^*)'=y_1'y_2+y_1y_2'=e^{-x}[(A-B)\cos x-(A+B) \sin x] \\ &所以有：(y^*)''=y_1''y_2+2y_1'y_2'+y_1y_2''=e^{-x}[2B\sin x-2A \cos x] \\ &最后代入原方程化简：(A+B)\sin x+(B-A)\cos x=2 \sin x \\ &求出A=1,B=1 \\ &所以：y^*=e^{-x}(\sin x+\cos x) \end{aligned}$$