留数法分解有理真分式

一、真分式和假分式

设$P_n(x)$和$Q_m(x)$表示$n$次和$m$次的多项式函数，则

$$\begin{cases} \frac{P_n(x)}{Q_m(x)}为假分式, & n \geq m \\ \frac{P_n(x)}{Q_m(x)}为真分式, & n < m \end{cases}$$

假分式可使用长除法分解，此处不再赘述。

二、有理真分式的分解形式

有理真分式$\frac{P_n(x)}{Q_m(x)}$可分解成如下四种形式：

$$\frac{A}{x-a},\frac{A}{(x-a)^l},\frac{Mx+N}{x^2+px+q},\frac{Mx+N}{(x^2+px+q)^l}$$

两类常见的分式均可以被唯一分解为：

$$\begin{aligned} （1）&\frac{P(x)}{(x-a)^k} = \frac{A_1}{x-a} + \frac{A_2}{(x-a)^2} +...+ \frac{A_k}{(x-a)^k} \\ （2）&\frac{P(x)}{(x^2+px+q)^k} = \frac{M_1x+N_1}{x^2+px+q} + \frac{M_2x+N_2}{(x^2+px+q)^2}+...+ \frac{M_kx+N_k}{(x^2+px+q)^k} \end{aligned}$$

注意，$x^2+px+q$不能在实数域内进行因式分解。

三、留数法求解待定系数

对于第一类分式，可以采用留数法求解待定系数。留数法又可以分为两种情形：一种是分母$Q_m(x)$分解为只有单根的形式，比如$(x-a)(x-b)(x-c)$；另一种是是分母$Q_m(x)$可分解为存在重根的形式，比如$(x-a)^2(x-b)(x-c)$。

1. 分母$Q_m(x)$因式分解后只有单根的情况

（1）若分母$Q_m(x)$可分解为

$$Q_m(x)=(x-b_1)(x-b_2)···(x-b_m)$$

则有理真分式可分解为

$$\frac{P_n(x)}{Q_m(x)}=\frac{A_1}{x-b_1}+\frac{A_2}{x-b_2}+...+\frac{A_m}{x-b_m}$$

此时系数为

$$A_k=\left[ \frac{P_n(x)}{Q_m(x)} \cdot (x-b_k) \right] \bigg|_{x=b_k},k\in[1,m]$$

（2）若分母$Q_m(x)$可分解为

$$Q_m(x)=(a_1x-b_1)(a_2x-b_2)···(a_mx-b_m)$$

则上述结论不再适用。应先把$Q_m(x)$的每一个因式中$x$的系数化为$1$，才能继续使用结论。将分母$Q_m(x)$整理成

$$Q_m(x)=a_1(x-\frac{b_1}{a_1}) \cdot a_2(x-\frac{b_2}{a_2})···a_m(x-\frac{b_m}{a_m})$$

令

$$\begin{aligned} P_n^{'}(x)&=\frac{P_n(x)}{a_1a_2···a_m}\\ Q_m^{'}(x)&=(x-\frac{b_1}{a_1})(x-\frac{b_2}{a_2})···(x-\frac{b_m}{a_m}) \end{aligned}$$

则有理真分式可分解为

$$\begin{aligned} \frac{P_n(x)}{Q_m(x)}= \frac{P_n^{'}(x)}{Q_m^{'}(x)}=\frac{A_1}{x-\frac{b_1}{a_1}}+\frac{A_2}{x-\frac{b_2}{a_2}}+...+\frac{A_m}{x-\frac{b_m}{a_m}} \end{aligned}$$

对$\frac{P_n^{'}(x)}{Q_m^{'}(x)}$使用留数法，此时系数为

$$A_k=\left[ \frac{P_n^{'}(x)}{Q_m^{'}(x)} \cdot (x-\frac{b_k}{a_k}) \right] \bigg|_{x=\frac{b_k}{a_k}},k\in[1,m]$$

2. 分母$Q_m(x)$因式分解后存在重根的情况

（1）若分母$Q_m(x)$可分解为

$$Q_m(x)=(x-b)^m$$

则有理真分式可分解为

$$\frac{P_n(x)}{Q_m(x)}=\frac{A_1}{x-b}+\frac{A_2}{(x-b)^2}+...+\frac{A_m}{(x-b)^m}$$

此时系数为

$$\begin{aligned} A_m&=\left[ \frac{P_n(x)}{Q_m(x)} \cdot (x-b)^m \right] \bigg|_{x=b_m} \\ A_k&=\frac{1}{(m-k)!} \cdot \frac{\mathrm{d}^{m-k}}{\mathrm{d}x^{m-k}} \left[ \frac{P_n(x)}{Q_m(x)} \cdot (x-b)^m \right] \bigg|_{x=b_k},k\in[1,m-1] \end{aligned}$$

（2）若分母$Q_m(x)$可分解为

$$Q_m(x)=(ax-b)^m$$

则上述结论不再适用。应先把$Q_m(x)$的因式中$x$的系数化为$1$，才能继续使用结论。将分母$Q_m(x)$整理成

$$Q_m(x)=a^m \cdot (x-\frac{b}{a})^m \\$$

令

$$\begin{aligned} P_n^{'}(x)&=\frac{P_n(x)}{a^m} \\ Q_m^{'}(x)&=(x-\frac{b}{a})^m \end{aligned}$$

将有理真分式化为

$$\begin{aligned} \frac{P_n(x)}{Q_m(x)}=\frac{P_n^{'}(x)}{Q_m^{'}(x)}=\frac{A_1}{x-\frac{b}{a}}+\frac{A_2}{(x-\frac{b}{a})^2}+...+\frac{A_m}{(x-\frac{b}{a})^m} \end{aligned}$$

对$\frac{P_n^{'}(x)}{Q_m^{'}(x)}$使用留数法，此时系数为

$$\begin{aligned} A_m&=\left[ \frac{P_n^{'}(x)}{Q_m^{'}(x)} \cdot \left(x-\frac{b}{a}\right)^m \right] \bigg|_{x=\frac{b}{a}} \\ A_k&=\frac{1}{(m-k)!} \cdot \frac{\mathrm{d}^{m-k}}{\mathrm{d}x^{m-k}} \left[ \frac{P_n^{'}(x)}{Q_m^{'}(x)} \cdot \left(x-\frac{b}{a}\right)^m \right] \bigg|_{x=\frac{b}{a}},k\in[1,m-1] \end{aligned}$$

3. 分母$Q_m(x)$因式分解后存在复根的情况

分母不可再分解的分式，形如

$$\frac{M_1x+N_1}{x^2+px+q}$$

其分母无实数根，只有复数根。我们也可使用留数法解决复根情况，将复数根代入计算，但是计算较为繁琐。不过有一种很巧妙的方法（见有理函数积分计算法则——留数思想法）可大大降低运算量，见例 5 及之后例题。

四、相关例题

【例 1】分解以下分式

$$f(x)=\frac{10(x+2)(x+5)}{x(x+1)(x+3)}$$

【解】将分式分解为

$$f(x)=\frac{A_1}{x}+\frac{A_2}{x+1}+\frac{A_3}{x+3}$$

用留数法求出各项系数

$$\begin{aligned} A_1&=\left[ \frac{10(x+2)(x+5)}{x(x+1)(x+3)} \cdot x \right] \bigg|_{x=0}=\frac{100}{3} \\ A_2&=\left[ \frac{10(x+2)(x+5)}{x(x+1)(x+3)} \cdot (x+1) \right] \bigg|_{x=-1}=-20 \\ A_3&=\left[ \frac{10(x+2)(x+5)}{x(x+1)(x+3)} \cdot (x+3) \right] \bigg|_{x=-3}=-\frac{10}{3} \end{aligned}$$

所以结果为

$$f(x)=\frac{\frac{100}{3}}{x}+\frac{-20}{x+1}-\frac{\frac{10}{3}}{x+3}$$

【例 2】分解以下分式

$$f(x)=\frac{x-2}{x(x+1)^3}$$

【解】将分式分解为

$$f(x)=\frac{A_1}{x}+\frac{A_2}{(x+1)^3}+\frac{A_3}{(x+1)^2}+\frac{A_4}{x+1}$$

用留数法求出各项系数

$$\begin{aligned} A_1&=\left[ \frac{x-2}{x(x+1)^3} \cdot x \right] \bigg|_{x=0}=-2 \\ A_2&=\left[ \frac{x-2}{x(x+1)^3} \cdot (x+1)^3 \right] \bigg|_{x=-1}=3 \\ A_3&=\frac{1}{(3-2)!} \cdot \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \left[ \frac{x-2}{x(x+1)^3} \cdot (x+1)^3 \right] \bigg|_{x=-1}=2 \\ A_4&=\frac{1}{(3-1)!} \cdot \frac{\mathrm{d^2}}{\mathrm{d}x^2} \left[ \frac{x-2}{x(x+1)^3} \cdot (x+1)^3 \right] \bigg|_{x=-1}=2 \end{aligned}$$

所以结果为

$$f(x)=-\frac{2}{x}+\frac{3}{(x+1)^3}+\frac{2}{(x+1)^2}+\frac{2}{x+1}$$

【例 3】分解以下分式

$$f(x)=\frac{1}{x(2x+3)}$$

【解】将分式分解为

$$\begin{aligned} f(x)=\frac{\frac{1}{2}}{x(x+\frac{3}{2})} = \frac{A_1}{x}+\frac{A_2}{x+\frac{3}{2}} \end{aligned}$$

用留数法求出各项系数

$$\begin{aligned} A_1&=\left[ \frac{\frac{1}{2}}{x(x+\frac{3}{2})} \cdot x \right] \bigg|_{x=0}=\frac{1}{3} \\ A_2&=\left[ \frac{\frac{1}{2}}{x(x+\frac{3}{2})} \cdot (x+\frac{3}{2}) \right] \bigg|_{x=-\frac{3}{2}}=-\frac{1}{3} \end{aligned}$$

所以结果为

$$f(x)=\frac{\frac{1}{3}}{x}-\frac{\frac{1}{3}}{x+\frac{3}{2}} =\frac{\frac{1}{3}}{x}-\frac{\frac{2}{3}}{2x+3}$$

【例 4】分解以下分式

$$f(x)=\frac{1}{x(2x-1)^3}$$

【解】将分式分解为

$$f(x)=\frac{\frac{1}{8}}{x(x-\frac{1}{2})^3}=\frac{A_1}{x}+\frac{A_2}{(x-\frac{1}{2})^3}+\frac{A_3}{(x-\frac{1}{2})^2}+\frac{A_4}{x-\frac{1}{2}}$$

用留数法求出各项系数

$$\begin{aligned} A_1&=\left[ \frac{\frac{1}{8}}{x(x-\frac{1}{2})^3} \cdot x \right] \bigg|_{x=0}=-1 \\ A_2&=\left[ \frac{\frac{1}{8}}{x(x-\frac{1}{2})^3} \cdot (x-\frac{1}{2})^3 \right] \bigg|_{x=\frac{1}{2}}=\frac{1}{4} \\ A_3&=\frac{1}{(3-2)!} \cdot \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \left[ \frac{\frac{1}{8}}{x(x-\frac{1}{2})^3} \cdot (x-\frac{1}{2})^3 \right] \bigg|_{x=\frac{1}{2}}=-\frac{1}{2} \\ A_4&=\frac{1}{(3-1)!} \cdot \frac{\mathrm{d^2}}{\mathrm{d}x^2} \left[ \frac{\frac{1}{8}}{x(x-\frac{1}{2})^3} \cdot (x-\frac{1}{2})^3 \right] \bigg|_{x=\frac{1}{2}}=1 \end{aligned}$$

所以结果为

$$\begin{aligned} f(x)&=-\frac{1}{x}+\frac{\frac{1}{4}}{(x-\frac{1}{2})^3}-\frac{\frac{1}{2}}{(x-\frac{1}{2})^2}+\frac{1}{x-\frac{1}{2}} \\ &=-\frac{1}{x}+\frac{2}{(2x-1)^3}-\frac{2}{(2x-1)^2}+\frac{2}{2x-1} \end{aligned}$$

【例 5】（2019 年真题）分解以下分式

$$f(x) = \frac{3x+6}{(x-1)^2 (x^2+x+1)}$$

【解】将分式分解为

$$f(x) = \frac{A_1}{(x-1)^2} + \frac{A_2}{x-1} + \frac{Mx+N}{x^2+x+1}$$

其中系数$A_1,A_2$易求

$$\begin{aligned} A_1 &= \left[ \frac{3x+6}{(x-1)^2 (x^2+x+1)} \cdot (x-1)^2 \right] \bigg|_{x=1}=3 \\ A_2 &= \frac{1}{(2-1)!} \cdot \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \left[ \frac{3x+6}{(x-1)^2 (x^2+x+1)} \cdot (x-1)^2 \right] \bigg|_{x=1}=-2 \end{aligned}$$

对于系数$M,N$可用以下方法：

先令$x_0$为$x^2+x+1=0$的一个复数根，然后在等式两边同乘$(x^2+x+1)$，并代入$x=x_0$，此时含有$(x^2+x+1)$的项将被消去，即

$$\begin{aligned} & \frac{3x+6}{(x-1)^2 (x^2+x+1)} = \frac{A_1}{(x-1)^2} + \frac{A_2}{x-1} + \frac{Mx+N}{x^2+x+1} \\ \Rightarrow & \frac{3x+6}{(x-1)^2} = \frac{A_1(x^2+x+1)}{(x-1)^2} + \frac{A_2(x^2+x+1)}{x-1} + (Mx+N) \\ \Rightarrow & \frac{3x_0+6}{(x_0-1)^2} = Mx_0+N （代入x=x_0，消去含x^2+x+1的项） \end{aligned}$$

现考虑将上式进一步化简，把二次项$(x_0-1)^2$凑成$(x^2+x+1)$，即

$$\begin{aligned} & \frac{3x_0+6}{(x_0-1)^2} = Mx_0+N \\ \Rightarrow & \frac{3x_0+6}{x_0^2-2x_0+1} = Mx_0+N \\ \Rightarrow & \frac{3x_0+6}{(x_0^2+x_0+1)-3x_0} = Mx_0+N \\ \Rightarrow & \frac{3x_0+6}{-3x_0} = Mx_0+N \\ \Rightarrow & -1 - \frac{2}{x_0} = Mx_0+N \end{aligned}$$

此时将其中一个复数根$x_0=-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}\mathrm{i}$代入等式两端，并对比左右求出系数，即

$$\begin{aligned} & -1 - \frac{2}{-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}\mathrm{i}} = M(-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}\mathrm{i})+N \\ \Rightarrow & \sqrt{3}\mathrm{i} = \frac{\sqrt{3}}{2}\mathrm{i}M + (N-\frac{M}{2}) （左边分式上下同乘共轭复数）\\ \Rightarrow & M=2,N=1（对比左右求出系数） \end{aligned}$$

所以结果为

$$f(x) = \frac{3}{(x-1)^2} - \frac{2}{x-1} + \frac{2x+1}{x^2+x+1}$$

可见这种方法大大简化了运算。

【例 6】分解以下分式

$$f(x) = \frac{x+2}{(2x+1)(x^2+x+1)}$$

【解】将分式分解为

$$f(x) = \frac{\frac{1}{2}x+1}{(x+\frac{1}{2})(x^2+x+1)} = \frac{A}{x+\frac{1}{2}} + \frac{Mx+N}{x^2+x+1}$$

其中系数$A$易求

$$\begin{aligned} A &= \left[ \frac{\frac{1}{2}x+1}{(x+\frac{1}{2})(x^2+x+1)} \cdot (x+\frac{1}{2}) \right] \bigg|_{x=-\frac{1}{2}}=1 \end{aligned}$$

对于系数$M,N$也可使用例 5 的方法求解，先令$x_0$为$x^2+x+1=0$的一个复数根，然后在等式两边同乘$(x^2+x+1)$，并代入$x=x_0$，此时含有$(x^2+x+1)$的项将被消去，即

$$\begin{aligned} & \frac{\frac{1}{2}x+1}{(x+\frac{1}{2})(x^2+x+1)} = \frac{A}{x+\frac{1}{2}} + \frac{Mx+N}{x^2+x+1} \\ \Rightarrow & \frac{\frac{1}{2}x+1}{x+\frac{1}{2}} = \frac{A(x^2+x+1)}{x+\frac{1}{2}} + (Mx+N) \\ \Rightarrow & \frac{\frac{1}{2}x_0+1}{x_0+\frac{1}{2}} = \frac{A(x_0^2+x_0+1)}{x_0+\frac{1}{2}} + (Mx_0+N) \\ \Rightarrow & \frac{\frac{1}{2}x_0+1}{x_0+\frac{1}{2}} = Mx_0+N \\ \Rightarrow & \frac{x_0+2}{2x_0+1} = Mx_0+N \end{aligned}$$

现考虑将等式左边凑出$(x^2+x+1)$，但是分子、分母均为一次项，凑不出二次项出来，所以分子、分母需要乘以一个形如$(Ax+B)$的项，接着再凑出$(x^2+x+1)$。

如何确定这个$(Ax+B)$的项呢？使用长除法，用$(x^2+x+1)$去除以分母$2x+1$，得到：$x^2+x+1 = (2x+1)(\frac{1}{2}x+\frac{1}{4}) + \frac{3}{4}$，于是等式左边上下同乘$(\frac{1}{2}x+\frac{1}{4})$得：

$$\begin{aligned} & \frac{x_0+2}{2x_0+1} = Mx_0+N \\ \Rightarrow & \frac{(x_0+2)(\frac{1}{2}x_0+\frac{1}{4})}{(2x_0+1)(\frac{1}{2}x_0+\frac{1}{4})} = Mx_0+N \\ \Rightarrow & \frac{\frac{1}{2}x_0^2+\frac{5}{4}x_0+\frac{1}{2}}{(x_0^2+x_0+1)-\frac{3}{4}} = Mx_0+N \\ \Rightarrow & \frac{\frac{1}{2}(x_0^2+x_0+1)+\frac{3}{4}x_0}{(x_0^2+x_0+1)-\frac{3}{4}} = Mx_0+N （等式左边的分子也可凑x^2+x+1）\\ \Rightarrow & \frac{\frac{3}{4}x_0}{-\frac{3}{4}} = Mx_0+N \\ \Rightarrow & -x_0 = Mx_0+N \\ \Rightarrow & M=-1,N=0 \end{aligned}$$

当然，用$(x^2+x+1)$去除以分子$x+2$也是可以的，得到：$x^2+x+1 = (x+2)(x-1)+3$，于是等式左边上下同乘$(x-1)$得：

$$\begin{aligned} & \frac{x_0+2}{2x_0+1} = Mx_0+N \\ \Rightarrow & \frac{(x_0+2)(x_0-1)}{(2x_0+1)(x_0-1)} = Mx_0+N \\ \Rightarrow & \frac{(x_0^2+x_0+1)-3}{2x_0^2-x_0-1} = Mx_0+N \\ \Rightarrow & \frac{(x_0^2+x_0+1)-3}{2(x_0^2+x_0+1)-3x_0-3} = Mx_0+N（等式左边的分母也可凑x^2+x+1）\\ \Rightarrow & \frac{1}{x_0+1} = Mx_0+N \\ \end{aligned}$$

此时将其中一个复数根$x_0=-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}\mathrm{i}$代入等式两端，并对比左右求出系数，即

$$\begin{aligned} & \frac{1}{\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}\mathrm{i}} = M(-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}\mathrm{i})+N \\ \Rightarrow & \frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}\mathrm{i} = \frac{\sqrt{3}}{2}\mathrm{i}M + (N-\frac{M}{2})（左边分式上下同乘共轭复数）\\ \Rightarrow & M=-1,N=0（对比左右求出系数） \end{aligned}$$

对比上面两种方法，可见第一种方法更简便。

所以结果为

$$f(x) = \frac{2}{2x+1} - \frac{x}{x^2+x+1}$$