1 原函数存在性和可积性

1.1 函数可积的充分条件（判定条件）

  • 若 f(x)f(x) 在 [a,b][a,b] 上连续，则 f(x)f(x) 可积
  • 若 f(x)f(x) 在 [a,b][a,b] 上只有有限个第一类间断点，则 f(x)f(x) 可积
  • 若 f(x)f(x) 在 [a,b][a,b] 上有界，只有有限个间断点，则 f(x)f(x) 可积
  • 若 f(x)f(x) 在 [a,b][a,b] 上单调有界，则 f(x)f(x) 可积

1.2 函数存在原函数的充分条件（判定条件）

  • 若 f(x)f(x) 在 [a,b][a,b] 上连续，则 f(x)f(x) 在 [a,b][a,b] 上存在原函数 F(x)F(x)
  • 若 f(x)f(x) 在 [a,b][a,b] 上有第一类间断点，则 f(x)f(x) 不存在原函数
  • 若 f(x)f(x) 在 [a,b][a,b] 上有无穷间断点，则 f(x)f(x) 不存在原函数
f(x)f(x) 在 [a,b][a,b] 上的情况 原函数是否存在 是否可积
连续无间断 是，且为 F(x)=∫axf(t)dtF(x) = \int^x_a f(t)dt 是
可去间断点（有限个） 否 是
跳跃间断点（有限个） 否 是
无穷间断点 否 可能
振荡间断点 可能 可能

1.3 函数可积的必要条件（性质）

  • 若 f(x)f(x) 在 [a,b][a,b] 上可积，则 f(x)f(x) 在 [a,b][a,b] 上有界
  • 若 f(x)f(x) 在 [a,b][a,b] 上可积，f(x)≥0f(x) \geq 0，则 ∫abf(x)dx≥0\int^b_a f(x)dx \geq 0
  • 若 f(x)f(x) 在 [a,b][a,b] 上可积，f(x)>0f(x) > 0，则 ∫abf(x)dx>0\int^b_a f(x)dx > 0
  • 若 f(x)f(x) 在 [a,b][a,b] 上连续，f(x)≥0f(x) \geq 0 且不恒等于 00，则 ∫abf(x)dx>0\int^b_a f(x)dx > 0

1.4 变上限积分的性质

设 F(x)=∫axf(t)dt,x∈[a,b]F(x) = \int^x_a f(t)dt, x \in [a,b]，则有：

  • 若 f(x)f(x) 在 [a,b][a,b] 上可积，则 F(x)F(x) 在 [a,b][a,b] 上连续
  • 若 f(x)f(x) 在 [a,b][a,b] 上连续，则 F(x)F(x) 在 [a,b][a,b] 上可导
  • 若 f(x)f(x) 在 [a,b][a,b] 上 kk 阶可导，则 F(x)F(x) 在 [a,b][a,b] 上 k+1k+1 阶可导
f(x)f(x) 在 [a,b][a,b] 上的情况 是否可积 面积 F(x)F(x) F(x)F(x) 是否为 f(x)f(x) 的原函数 F(x)F(x) 是否在 x=x0x=x_0 连续 F(x)F(x) 是否在 x=x0x=x_0 可导
连续无间断 是 F(x)=∫axf(t)dtF(x) = \int^x_a f(t)dt 是 是 是
存在可去间断点 x=x0x=x_0 是 F(x)=∫axf(t)dtF(x) = \int^x_a f(t)dt 否 是 是
存在跳跃间断点 x=x0x=x_0 是 F(x)={∫axf(t)dt,x≤x0∫ax0f(t)dt+∫x0xf(t)dt,x>x0F(x) = \begin{cases} \int^x_a f(t)dt, & x \leq x_0 \\ \int^{x_0}_a f(t)dt + \int^x_{x_0} f(t)dt, & x > x_0 \end{cases} 否 是 否

2 平面图形

2.1 平面图形的面积

2.1.1 直角坐标系下的平面图形的面积

当 f(x)≥g(x),x∈[a,b]f(x) \geq g(x), x \in [a,b] 时，所围面积为

S=∬Ddxdy=∫abdx∫g(x)f(x)dy=∫ab[f(x)−g(x)]dxS = \iint \limits_{D} dxdy = \int^b_a dx \int^{f(x)}_{g(x)} dy = \int^b_a [f(x)-g(x)] dx

2.1.2 参数方程形式下的平面图形的面积

设曲线方程 y=f(x),x∈[a,b]y=f(x), x \in [a,b] 由参数方程 {x=x(t)y=y(t),t∈[α,β]\begin{cases} x=x(t) \\ y=y(t) \end{cases}, t \in [\alpha,\beta] 确定，则所围曲边梯形的面积为

S=∬Ddxdy=∫abdx∫0f(x)dy=∫abf(x)dx=∫αβy(t)x′(t)dtS = \iint \limits_{D} dxdy = \int^b_a dx \int^{f(x)}_{0} dy = \int^b_a f(x) dx = \int^{\beta}_{\alpha} y(t) x'(t) dt

2.1.3 极坐标系下的平面图形的面积

当 r2(θ)≥r1(θ),θ∈[α,β]r_2(\theta) \geq r_1(\theta), \theta \in [\alpha,\beta] 时，所围面积为

S=∬Ddxdy=∬Drdrdθ=∫αβdθ∫r1(θ)r2(θ)rdr=12∫αβ[r22(θ)−r12(θ)]dθS = \iint \limits_{D} dxdy = \iint \limits_{D} rdrd\theta = \int^{\beta}_{\alpha} d\theta \int^{r_2(\theta)}_{r_1(\theta)} rdr = \frac{1}{2} \int^{\beta}_{\alpha} [r_2^2(\theta)-r_1^2(\theta)] d\theta

极坐标方程的角度定限问题

【kk 叶玫瑰线】极坐标下的形式为 r=asin⁡kθr = a\sin k \theta 或 r=acos⁡kθr = a\cos k \theta。参数为 kk 的玫瑰线，在 [0,2π][0,2\pi] 上会形成 2k2k 个花瓣，其中 kk 个极径为正，kk 个极径为负。当 kk 为奇数时，kk 个正极径花瓣和 kk 个负极径花瓣两两重叠，实际只有 kk 个花瓣，此时可认为极径永为正。

【例 1】求 r=sin⁡3θr=\sin 3 \theta 所围面积。

【解】注意有 θ∈[0,2π]⇒3θ∈[0,6π]\theta \in [0, 2\pi] \Rightarrow 3\theta \in [0, 6\pi]。

因为 r=sin⁡3θ≥0r = \sin 3 \theta \geq 0，所以有 3θ∈[0,π]∪[2π,3π]∪[4π,5π]3\theta \in [0, \pi] \cup [2\pi, 3\pi] \cup [4\pi, 5\pi]，即 θ∈[0,π3]∪[2π3,π]∪[4π3,5π3]\theta \in [0, \frac{\pi}{3}] \cup [\frac{2\pi}{3},\pi] \cup [\frac{4\pi}{3}, \frac{5\pi}{3}]。

注意 k 为奇数，因此只需考虑极径为正的情况即可，所以面积为

S=(∫0π3+∫2π3π+∫4π35π3)dθ∫0sin⁡3θrdr=3∫0π3dθ∫0sin⁡3θrdrS = (\int^{\frac{\pi}{3}}_{0} + \int^{\pi}_{\frac{2\pi}{3}} + \int^{\frac{5\pi}{3}}_{\frac{4\pi}{3}}) d\theta \int^{\sin 3 \theta}_0 rdr = 3 \int^{\frac{\pi}{3}}_{0} d\theta \int^{\sin 3 \theta}_0 rdr

【例 2】求 r=sin⁡2θr= \sin 2 \theta 所围面积。

【解】注意有 θ∈[0,2π]⇒2θ∈[0,4π]\theta \in [0, 2\pi] \Rightarrow 2\theta \in [0, 4\pi]。

因为 r=sin⁡2θ≥0r = \sin 2 \theta \geq 0，所以有 2θ∈[0,π]∪[2π,3π]2\theta \in [0, \pi] \cup [2\pi, 3\pi]，即 θ∈[0,π2]∪[π,3π2]\theta \in [0, \frac{\pi}{2}] \cup [\pi, \frac{3\pi}{2}]。

注意 k 为偶数，而这里只考察了极径为正的情况，所以面积还需要乘以 2，如下

S=2(∫0π2+∫3π2π)dθ∫0sin⁡2θrdr=4∫0π2dθ∫0sin⁡2θrdrS = 2(\int^{\frac{\pi}{2}}_{0} + \int^{\pi}_{\frac{3\pi}{2}}) d\theta \int^{\sin 2 \theta}_0 rdr = 4 \int^{\frac{\pi}{2}}_{0} d\theta \int^{\sin 2 \theta}_0 rdr

【例 3】求 r=cos⁡2θr=\cos 2 \theta 所围面积。

【解】注意有 θ∈[0,2π]⇒2θ∈[0,4π]\theta \in [0, 2\pi] \Rightarrow 2\theta \in [0, 4\pi]。

当 r=cos⁡2θ≥0r = \cos 2 \theta \geq 0 时，有 2θ∈[0,π2]∪[3π2,5π2]∪[7π2,2π]2\theta \in [0, \frac{\pi}{2}] \cup [\frac{3\pi}{2}, \frac{5\pi}{2}] \cup [\frac{7\pi}{2}, 2\pi]，即 θ∈[0,π4]∪[3π4,5π4]∪[7π4,2π]\theta \in [0, \frac{\pi}{4}] \cup [\frac{3\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}] \cup [\frac{7\pi}{4}, 2\pi]。

注意 k 为偶数，而这里只考察了极径为正的情况，所以面积还需要乘以 2，如下

S=2(∫0π4+∫3π45π4+∫7π42π)dθ∫0cos⁡2θrdr=8∫0π4dθ∫0cos⁡2θrdrS = 2(\int^{\frac{\pi}{4}}_{0} + \int^{\frac{5\pi}{4}}_{\frac{3\pi}{4}} + \int^{2\pi}_{\frac{7\pi}{4}}) d\theta \int^{\cos 2 \theta}_0 rdr = 8 \int^{\frac{\pi}{4}}_{0} d\theta \int^{\cos 2 \theta}_0 rdr

【双纽线】极坐标形式为 r2=a2sin⁡2θr^2 = a^2 \sin 2\theta 或 r2=a2cos⁡2θr^2 = a^2 \cos 2\theta。

【例 4】求 r2=sin⁡2θr^2= \sin 2 \theta 所围面积。

【解】注意有 θ∈[0,2π]⇒2θ∈[0,4π]\theta \in [0, 2\pi] \Rightarrow 2\theta \in [0, 4\pi]。

因为 r2=sin⁡2θ≥0r^2 = \sin 2 \theta \geq 0，所以有 2θ∈[0,π]∪[2π,3π]2\theta \in [0, \pi] \cup [2\pi, 3\pi]，即 θ∈[0,π2]∪[π,3π2]\theta \in [0, \frac{\pi}{2}] \cup [\pi, \frac{3\pi}{2}]。

极径必为正，所以面积为

S=(∫0π2+∫π3π2)dθ∫0sin⁡2θrdr=2∫0π2dθ∫0sin⁡2θrdrS = (\int^{\frac{\pi}{2}}_{0} + \int^{\frac{3\pi}{2}}_{\pi}) d\theta \int^{\sqrt{\sin 2 \theta}}_0 rdr = 2 \int^{\frac{\pi}{2}}_{0} d\theta \int^{\sqrt{\sin 2 \theta}}_0 rdr

【例 5】求 r2=cos⁡2θr^2= \cos 2 \theta 所围面积。

【解】注意有 θ∈[0,2π]⇒2θ∈[0,4π]\theta \in [0, 2\pi] \Rightarrow 2\theta \in [0, 4\pi]。

因为 r2=cos⁡2θ≥0r^2 = \cos 2 \theta \geq 0，所以有 2θ∈[0,π2]∪[3π2,5π2]∪[7π2,2π]2\theta \in [0, \frac{\pi}{2}] \cup [\frac{3\pi}{2}, \frac{5\pi}{2}] \cup [\frac{7\pi}{2}, 2\pi]，即 θ∈[0,π4]∪[3π4,5π4]∪[7π4,2π]\theta \in [0, \frac{\pi}{4}] \cup [\frac{3\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}] \cup [\frac{7\pi}{4}, 2\pi]。

极径必为正，所以面积为

S=(∫0π4+∫3π45π4+∫7π42π)dθ∫0cos⁡2θrdr=4∫0π4dθ∫0cos⁡2θrdrS = (\int^{\frac{\pi}{4}}_{0} + \int^{\frac{5\pi}{4}}_{\frac{3\pi}{4}} + \int^{2\pi}_{\frac{7\pi}{4}}) d\theta \int^{\sqrt{\cos 2 \theta}}_0 rdr = 4 \int^{\frac{\pi}{4}}_{0} d\theta \int^{\sqrt{\cos 2 \theta}}_0 rdr

2.2 平面图形的形心和质心

2.2.1 平面图形的形心

设 DD 由 f(x)≥g(x),x∈[a,b]f(x) \geq g(x), x \in [a,b] 所围，则形心 (xˉ,yˉ)(\bar x, \bar y) 为

xˉ=∬Dxdxdy∬Ddxdy=∫abx[f(x)−g(x)]dx∫ab[f(x)−g(x)]dxyˉ=∬Dydxdy∬Ddxdy=12∫ab[f2(x)−g2(x)]dx∫ab[f(x)−g(x)]dx\begin{aligned} & \bar x=\frac{\iint \limits_{D} x dxdy}{\iint \limits_{D} dxdy} = \frac{\int^b_a x[f(x)-g(x)] dx}{\int^b_a [f(x)-g(x)] dx} \\ & \bar y=\frac{\iint \limits_{D} y dxdy}{\iint \limits_{D} dxdy} = \frac{ \frac{1}{2} \int^b_a [f^2(x)-g^2(x)] dx}{\int^b_a [f(x)-g(x)] dx} \end{aligned}

2.2.2 平面图形的质心

设 DD 由 f(x)≥g(x),x∈[a,b]f(x) \geq g(x), x \in [a,b] 所围，面密度为 ρ(x,y)\rho(x,y)，则质心 (xˉ,yˉ)(\bar x, \bar y) 为

xˉ=∬Dxρ(x,y)dxdy∬Dρ(x,y)dxdyyˉ=∬Dyρ(x,y)dxdy∬Dρ(x,y)dxdy\begin{aligned} & \bar x=\frac{\iint \limits_{D} x\rho(x,y) dxdy}{\iint \limits_{D} \rho(x,y) dxdy} \\ & \bar y=\frac{\iint \limits_{D} y\rho(x,y) dxdy}{\iint \limits_{D} \rho(x,y) dxdy} \end{aligned}

3 平面曲线

3.1 平面曲线的曲率

3.1.1 直角坐标系下的平面曲线的曲率

设曲线方程为 y=y(x)y=y(x)，y(x)y(x) 二阶可导，则曲线的曲率和曲率半径分别为

K=∣y′′∣(1+y′2)3,R=1KK = \frac{|y''|}{\sqrt{(1+y'^2)^3}}, R=\frac{1}{K}

3.1.2 直角坐标系下的平面曲线的曲率

设曲线方程 y=f(x),x∈[a,b]y=f(x), x \in [a,b] 由参数方程 {x=x(t)y=y(t),t∈[α,β]\begin{cases} x=x(t) \\ y=y(t) \end{cases}, t \in [\alpha,\beta] 确定，则曲线的曲率和曲率半径分别为

K=∣x′(t)y′′(t)−x′′(t)y′(t)∣[x′2(t)+y′2(t)]3,R=1KK = \frac{|x'(t)y''(t)-x''(t)y'(t)|}{\sqrt{[x'^2(t)+y'^2(t)]^3}}, R=\frac{1}{K}

3.2 平面曲线的弧长

3.2.1 直角坐标系下的平面图形的弧长

设曲线方程为 y=y(x),x∈[a,b]y=y(x), x \in [a,b]，则弧微分和弧长分别为

ds=1+f′2(x)dxs=∫abds=∫ab1+f′2(x)dx\begin{aligned} & ds = \sqrt{1+f'^2(x)} dx \\ & s = \int^b_a ds = \int^b_a \sqrt{1+f'^2(x)} dx \\ \end{aligned}

3.2.2 参数方程形式下的平面图形的弧长

设曲线方程 y=f(x),x∈[a,b]y=f(x), x \in [a,b] 由参数方程 {x=x(t)y=y(t),t∈[α,β]\begin{cases} x=x(t) \\ y=y(t) \end{cases}, t \in [\alpha,\beta] 确定，则弧微分和弧长分别为

ds=1+(y′(t)x′(t))2d[x(t)]=x′2(t)+y′2(t)dts=∫αβds=∫αβx′2(t)+y′2(t)dt\begin{aligned} & ds = \sqrt{1 + \left( \frac{y'(t)}{x'(t)} \right)^2 } d[x(t)] = \sqrt{x'^2(t)+y'^2(t)} dt \\ & s = \int^{\beta}_{\alpha} ds = \int^{\beta}_{\alpha} \sqrt{x'^2(t)+y'^2(t)} dt \\ \end{aligned}

3.2.3 极坐标系下的平面图形的弧长

设平面曲线由极坐标方程 r=r(θ),θ∈[α,β]r=r(\theta), \theta \in [\alpha,\beta] 确定，则可先转化为参数方程形式

{x(θ)=r(θ)cos⁡θy(θ)=r(θ)sin⁡θ\begin{cases} x(\theta) = r(\theta) \cos \theta \\ y(\theta) = r(\theta) \sin \theta \end{cases}

此时参数方程形式下的弧微分和弧长为

ds=1+(y′(θ)x′(θ))2d[x(θ)]=x′2(θ)+y′2(θ)dθ=r′2(θ)+r2(θ)dθs=∫αβds=∫αβr′2(θ)+r2(θ)dθ\begin{aligned} & ds = \sqrt{1 + \left( \frac{y'(\theta)}{x'(\theta)} \right)^2 } d[x(\theta)] = \sqrt{x'^2(\theta)+y'^2(\theta)} d\theta = \sqrt{r'^2(\theta)+r^2(\theta)} d\theta \\ & s = \int^{\beta}_{\alpha} ds = \int^{\beta}_{\alpha} \sqrt{r'^2(\theta)+r^2(\theta)} d\theta \\ \end{aligned}

3.3 平面曲线的形心和质心

3.3.1 平面曲线的形心

（1）x 轴区间 [a,b][a,b] 上的形心为

xˉ=∫abxdx∫abdx=a+b2\bar x=\frac{\int^b_a x dx}{\int^b_a dx} = \frac{a+b}{2}

（2）设曲线由参数方程 {x=x(t)y=y(t),t∈[α,β]\begin{cases} x=x(t) \\ y=y(t) \end{cases}, t \in [\alpha,\beta] 确定，则平面曲线的形心 (xˉ,yˉ)(\bar x, \bar y) 为

xˉ=∫αβx(t)ds∫αβds=∫αβx(t)x′2(t)+y′2(t)dt∫αβx′2(t)+y′2(t)dtyˉ=∫αβy(t)ds∫αβds=∫αβy(t)x′2(t)+y′2(t)dt∫αβx′2(t)+y′2(t)dt\bar x = \frac{\int^{\beta}_{\alpha} x(t) ds}{\int^{\beta}_{\alpha} ds} = \frac{\int^{\beta}_{\alpha} x(t) \sqrt{x'^2(t) + y'^2(t)} dt}{\int^{\beta}_{\alpha} \sqrt{x'^2(t) + y'^2(t)} dt} \\ \bar y = \frac{\int^{\beta}_{\alpha} y(t) ds}{\int^{\beta}_{\alpha} ds} = \frac{\int^{\beta}_{\alpha} y(t) \sqrt{x'^2(t) + y'^2(t)} dt}{\int^{\beta}_{\alpha} \sqrt{x'^2(t) + y'^2(t)} dt}

3.3.2 平面曲线的质心

设线密度为 ρ(x)\rho(x)，则 x 轴区间 [a,b][a,b] 上的形心为

xˉ=∫abxρ(x)dx∫abρ(x)dx\bar x=\frac{\int^b_a x \rho(x) dx}{\int^b_a \rho(x) dx}

4 旋转体

4.1 旋转体的体积

4.1.1 万能公式

设曲线方程为 y=f(x),x∈[a,b]y=f(x), x \in [a,b]，旋转轴方程为 Ax+By+C=0Ax+By+C=0，则曲线绕旋转轴所成体积为

V=2π∬Dr(x,y)dxdy=2π∬D∣Ax+Bf(x)+C∣A2+B2dxdyV = 2 \pi \iint \limits_{D} r(x,y) dxdy = 2 \pi \iint \limits_{D} \frac{|Ax+Bf(x)+C|}{\sqrt{A^2+B^2}} dxdy

4.1.2 曲线绕平行于 x 轴的直线所得旋转体的体积（切片法）

设曲线方程为 y=f(x),x∈[a,b]y=f(x), x \in [a,b] 和 y=g(x),x∈[a,b]y=g(x), x \in [a,b]，且 f(x)≥g(x)f(x) \geq g(x)。

（1）设 DD 由曲线方程 y=f(x),x=a,x=by=f(x), x=a, x=b，x 轴（y=0y=0）所围，则 DD 绕 x 轴（y=0y=0）所得旋转体的体积为

V=2π∬D∣y∣dxdy=2π∫abdx∫0f(x)∣y∣dy=π∫ab∣f(x)∣2dxV = 2 \pi \iint \limits_{D} |y| dxdy = 2\pi \int^b_a dx \int^{f(x)}_0 |y| dy = \pi \int^b_a |f(x)|^2 dx

（2）设 DD 由曲线方程 y=f(x),x=a,x=by=f(x), x=a, x=b，y=ky=k 所围，则 DD 绕 y=ky=k 所得旋转体的体积为

V=2π∬D∣y∣dxdy=2π∫abdx∫0f(x)∣y−k∣dy=π∫ab∣f(x)−k∣2dxV = 2 \pi \iint \limits_{D} |y| dxdy = 2\pi \int^b_a dx \int^{f(x)}_0 |y-k| dy = \pi \int^b_a |f(x)-k|^2 dx

（3）设 DD 由曲线方程 y=f(x),y=g(x),x=a,x=by=f(x), y=g(x), x=a, x=b，x 轴（y=0y=0）所围，则 DD 绕 x 轴（y=0y=0）所得旋转体的体积为

V=2π∬D∣y∣dxdy=2π∫abdx∫g(x)f(x)∣y∣dy=π∫ab[f2(x)−g2(x)]dxV = 2 \pi \iint \limits_{D} |y| dxdy = 2\pi \int^b_a dx \int^{f(x)}_{g(x)} |y| dy = \pi \int^b_a [f^2(x)-g^2(x)] dx

（4）设 DD 由曲线方程 y=f(x),y=g(x),x=a,x=by=f(x), y=g(x), x=a, x=b 所围，则 DD 绕 y=k(k≥f(x)或k≤g(x))y=k(k \geq f(x) 或 k \leq g(x)) 所得旋转体的体积为

V=2π∬D∣y∣dxdy=2π∫abdx∫g(x)f(x)∣y−k∣dy=π∫ab([f(x)−k]2−[g(x)−k]2)dxV = 2 \pi \iint \limits_{D} |y| dxdy = 2\pi \int^b_a dx \int^{f(x)}_{g(x)} |y-k| dy = \pi \int^b_a \bigg( [f(x)-k]^2 - [g(x)-k]^2 \bigg) dx

4.1.3 曲线绕平行于 y 轴的直线所得旋转体的体积（柱壳法）

设曲线方程为 y=f(x),x∈[a,b]y=f(x), x \in [a,b] 和 y=g(x),x∈[a,b]y=g(x), x \in [a,b]，且 f(x)≥g(x)f(x) \geq g(x)。

（1）设 DD 由曲线方程 y=f(x),x=a,x=by=f(x), x=a, x=b，x 轴（y=0y=0）所围，则 DD 绕 y 轴（x=0x=0）所得旋转体的体积为

V=2π∬D∣x∣dxdy=2π∫abdx∫0f(x)∣x∣dy=2π∫ab∣xf(x)∣dxV = 2 \pi \iint \limits_{D} |x| dxdy = 2\pi \int^b_a dx \int^{f(x)}_0 |x| dy = 2\pi \int^b_a |xf(x)| dx

（2）设 DD 由曲线方程 y=f(x),x=a,x=by=f(x), x=a, x=b，x 轴（y=0y=0）所围，则 DD 绕 x=kx=k 所得旋转体的体积为

V=2π∬D∣y∣dxdy=2π∫abdx∫0f(x)∣x−k∣dy=2π∫ab∣x−k∣⋅∣f(x)∣dxV = 2 \pi \iint \limits_{D} |y| dxdy = 2\pi \int^b_a dx \int^{f(x)}_0 |x-k| dy = 2\pi \int^b_a |x-k| \cdot |f(x)| dx

（3）设 DD 由曲线方程 y=f(x),y=g(x),x=a,x=by=f(x), y=g(x), x=a, x=b 所围，则 DD 绕 y 轴（x=0x=0）所得旋转体的体积为

V=2π∬D∣x∣dxdy=2π∫abdx∫g(x)f(x)∣x∣dy=2π∫ab∣x∣⋅[f(x)−g(x)]dxV = 2 \pi \iint \limits_{D} |x| dxdy = 2\pi \int^b_a dx \int^{f(x)}_{g(x)} |x| dy = 2\pi \int^b_a |x| \cdot [f(x)-g(x)] dx

（4）设 DD 由曲线方程 y=f(x),y=g(x),x=a,x=by=f(x), y=g(x), x=a, x=b 所围，则 DD 绕 x=k(k≥b或k≤a)x=k(k \geq b 或 k \leq a) 所得旋转体的体积为

V=2π∬D∣y∣dxdy=2π∫abdx∫g(x)f(x)∣x−k∣dy=2π∫ab∣x−k∣⋅[f(x)−g(x)]dxV = 2 \pi \iint \limits_{D} |y| dxdy = 2\pi \int^b_a dx \int^{f(x)}_{g(x)} |x-k| dy = 2\pi \int^b_a |x-k| \cdot [f(x)-g(x)] dx

4.1.4 典型例题（必看）

【例 1】区域 DD 由曲线方程 y=sin⁡x,y=0,y=π2y=\sin x, y=0, y=\frac{\pi}{2} 所围，求 DD 绕 x 轴和 y 轴旋转所得旋转体的体积 VxV_x 和 VyV_y。

【解】（1）DD 绕 x 轴所得旋转体的体积为

Vx=2π∬Dydxdy=2π∫0π2dx∫0sin⁡xydy=π∫0π2sin⁡2xdx=π24V_x = 2 \pi \iint \limits_{D} y dxdy = 2\pi \int^{\frac{\pi}{2}}_0 dx \int^{\sin x}_0 y dy = \pi \int^{\frac{\pi}{2}}_0 \sin^2 x dx = \frac{\pi^2}{4}

（2）DD 绕 y 轴所得旋转体的体积为

Vy=2π∬Dxdxdy=2π∫0π2dx∫0sin⁡xxdy=2π∫0π2xsin⁡xdx=2πV_y = 2 \pi \iint \limits_{D} x dxdy = 2\pi \int^{\frac{\pi}{2}}_0 dx \int^{\sin x}_0 x dy = 2\pi \int^{\frac{\pi}{2}}_0 x\sin x dx = 2\pi

以上方法是基于纵向分割的微元，即先 dydy，后 dxdx，采用柱壳法。也可基于横向分割的微元，采用切片法，先 dxdx，后 dydy，如下

Vy=2π∫01dy∫arcsin⁡yπ2xdx=π34−π(π24−2)=2π\begin{aligned} V_y &= 2\pi \int^1_0 dy \int^{\frac{\pi}{2}}_{\arcsin y} x dx \\ &= \frac{\pi^3}{4} - \pi (\frac{\pi^2}{4} - 2) = 2\pi \\ \end{aligned}

【例 2】设摆线 {x=a(t−sin⁡t)y=a(1−cos⁡t)(t∈[0,2π],a>0)\begin{cases} x=a(t-\sin t) \\ y=a(1-\cos t) \end{cases}(t \in [0, 2\pi], a>0) 与 x 轴所围平面图形为 DD。

（1）求 DD 绕 x 轴和 y 轴所得旋转体的体积；

（2）求 DD 绕直线 y=2ay=2a 所得旋转体的体积。

【解】（1）DD 绕 x 轴所得旋转体的体积为

Vx=2π∬Dydxdy=2π∫02πadx∫0f(x)ydy=π∫02πaf2(x)dx=π∫02πy2(t)d[x(t)]=π∫02πy2(t)x′(t)dt=5π2a3\begin{aligned} V_x &= 2 \pi \iint \limits_{D} y dxdy = 2\pi \int^{2\pi a}_0 dx \int^{f(x)}_0 y dy = \pi \int^{2\pi a}_0 f^2(x) dx \\ &= \pi \int^{2\pi}_0 y^2(t) d[x(t)] = \pi \int^{2\pi}_0 y^2(t) x'(t) dt = 5\pi^2 a^3 \end{aligned}

DD 绕 y 轴所得旋转体的体积为

Vy=2π∬Dxdxdy=2π∫02πadx∫0f(x)xdy=π∫02πaxf(x)dx=π∫02πx(t)y(t)d[x(t)]=π∫02πx(t)y(t)x′(t)dt=6π3a3\begin{aligned} V_y &= 2 \pi \iint \limits_{D} x dxdy = 2\pi \int^{2\pi a}_0 dx \int^{f(x)}_0 x dy = \pi \int^{2\pi a}_0 xf(x) dx \\ &= \pi \int^{2\pi}_0 x(t) y(t) d[x(t)] = \pi \int^{2\pi}_0 x(t) y(t) x'(t) dt = 6\pi^3 a^3 \end{aligned}

（2）DD 绕直线 y=2ay=2a 所得旋转体的体积为

Vy=2a=2π∫02πadx∫0f(x)(2a−y)dy=−π∫02πa([2a−f(x)]2−(2a)2)dx=8π2a3−π∫02π[2a−x(t)]2d[x(t)]=8π2a3−π∫02π[2a−x(t)]2x′(t)dt=7π2a3\begin{aligned} V_{y=2a} &= 2\pi \int^{2\pi a}_0 dx \int^{f(x)}_{0} (2a-y) dy \\ & = - \pi \int^{2\pi a}_0 \bigg( [2a-f(x)]^2 - (2a)^2 \bigg) dx \\ &= 8\pi^2 a^3 - \pi \int^{2\pi}_0 [2a-x(t)]^2 d[x(t)] \\ &= 8\pi^2 a^3 - \pi \int^{2\pi}_0 [2a-x(t)]^2 x'(t) dt = 7\pi^2 a^3 \end{aligned}

【例 3】设心形线 r=4(1+cos⁡θ)r=4(1+\cos \theta) 与 θ=0,θ=π2\theta = 0, \theta = \frac{\pi}{2} 所围图形为 DD，求 DD 绕极轴旋转一周所得旋转体的体积。

【解】先将极坐标方程写成参数方程

{x(θ)=4(1+cos⁡θ)cos⁡θy(θ)=4(1+cos⁡θ)sin⁡θ\begin{cases} x(\theta) = 4(1+\cos \theta) \cos \theta \\ y(\theta) = 4(1+\cos \theta) \sin \theta \end{cases}

因此 DD 绕 x 轴所得旋转体的体积为

Vx=2π∬Dydxdy=2π∫08dx∫0f(x)ydy=π∫08f2(x)dx=π∫π20y2(θ)d[x(θ)]=π∫π20y2(θ)x′(θ)dθ=160π\begin{aligned} V_x &= 2 \pi \iint \limits_{D} y dxdy = 2\pi \int^8_0 dx \int^{f(x)}_0 y dy = \pi \int^8_0 f^2(x) dx \\ &= \pi \int^0_{\frac{\pi}{2}} y^2(\theta) d[x(\theta)] = \pi \int^0_{\frac{\pi}{2}} y^2(\theta) x'(\theta) d\theta = 160\pi \end{aligned}

4.2 旋转体的侧面积

4.2.1 直角坐标系下的计算公式

（1）设 DD 由曲线方程 y=f(x),x=a,x=by=f(x), x=a, x=b，x 轴所围，则 DD 绕 x 轴所得旋转体的侧面积为

S=2π∫ab∣f(x)∣ds=2π∫ab∣f(x)∣1+f′2(x)dxS = 2\pi \int^b_a |f(x)| ds = 2\pi \int^b_a |f(x)| \sqrt{1+f'^2(x)} dx

（2）设 DD 由曲线方程 y=f(x),x=a,x=by=f(x), x=a, x=b，x 轴所围，则 DD 绕 L:Ax+By+C=0L: Ax+By+C=0 所得旋转体的侧面积为

S=2π∫abr(x,y)ds=2π∫ab∣Ax+Bf(x)+C∣A2+B21+f′2(x)dxS = 2\pi \int^b_a r(x,y) ds = 2\pi \int^b_a \frac{|Ax+Bf(x)+C|}{\sqrt{A^2+B^2}} \sqrt{1+f'^2(x)} dx

4.2.2 参数方程形式下的计算公式

设曲线方程 y=f(x),x∈[a,b]y=f(x), x \in [a,b] 由参数方程 {x=x(t)y=y(t),t∈[α,β]\begin{cases} x=x(t) \\ y=y(t) \end{cases}, t \in [\alpha, \beta] 确定，DD 由曲线方程 y=f(x),x=a,x=by=f(x), x=a, x=b，x 轴所围，则 DD 绕 x 轴所得旋转体的侧面积为

S=2π∫ab∣f(x)∣ds=2π∫αβ∣y(t)∣x′2(t)+y′2(t)dtS = 2\pi \int^b_a |f(x)| ds = 2\pi \int^{\beta}_{\alpha} |y(t)| \sqrt{x'^2(t)+y'^2(t)} dt

4.2.3 极坐标系下的计算公式

设平面曲线由极坐标方程 r=r(θ),θ∈[α,β]r=r(\theta), \theta \in [\alpha,\beta] 确定，则可先转化为参数方程形式

{x(θ)=r(θ)cos⁡θy(θ)=r(θ)sin⁡θ\begin{cases} x(\theta) = r(\theta) \cos \theta \\ y(\theta) = r(\theta) \sin \theta \end{cases}

则 DD 绕 x 轴所得旋转体的侧面积为

S=2π∫ab∣f(x)∣ds=2π∫αβ∣r(θ)sin⁡θ∣r2(θ)+r′2(θ)dθS = 2\pi \int^b_a |f(x)| ds = 2\pi \int^{\beta}_{\alpha} |r(\theta) \sin \theta| \sqrt{r^2(\theta)+r'^2(\theta)} d\theta