运用谱分解定理反求实对称矩阵

谱分解定理

设三阶实对称矩阵 $A$，若矩阵 $A$ 的特征值为 $\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3$，对应的单位化特征向量分别为 $\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$ 且两两正交，则 $A = \lambda_1 \alpha_1 \alpha_1^{\mathrm{T}} + \lambda_2 \alpha_2 \alpha_2^{\mathrm{T}} + \lambda_3 \alpha_3 \alpha_3^{\mathrm{T}}$。

【注 1】在考研范围内，只适用于实对称矩阵。
【注 2】特征向量必须两两正交且单位化！

证明：三阶实对称矩阵 $A$ 可相似对角化，存在正交矩阵 $Q=(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)$，使得 $Q^{\mathrm{T}}AQ = \Lambda = \begin{bmatrix} \lambda_1 & & \\ & \lambda_2 & \\ & & \lambda_3 \end{bmatrix}$。

所以有：$A = (\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3) \begin{bmatrix} \lambda_1 & & \\ & \lambda_2 & \\ & & \lambda_3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \alpha_1^{\mathrm{T}} \\ \alpha_2^{\mathrm{T}} \\ \alpha_3^{\mathrm{T}} \end{bmatrix} = \lambda_1 \alpha_1 \alpha_1^{\mathrm{T}} + \lambda_2 \alpha_2 \alpha_2^{\mathrm{T}} + \lambda_3 \alpha_3 \alpha_3^{\mathrm{T}}$。

定理的运用

什么时候运用谱分解定理最方便？

（1）当特征值出现 $0$ 时，运用定理可减少计算量（参见解法一）；

（2）当特征值出现二重根 $k$ 时，可先运用定理计算出具体的 $A-kE$，再算出实对称矩阵 $A$（参见解法二）；

（3）运用该定理甚至不需要求出所有的特征向量！

【例】设 $3$ 阶实对称矩阵 $A$ 的秩为 $2$，$\lambda_1=\lambda_2=6$ 是 $A$ 的二重特征值，若 $\alpha_1=(1,1,0)^{\mathrm{T}},\alpha_2=(2,1,1)^{\mathrm{T}},\alpha_3=(-1,2,-3)^{\mathrm{T}}$，都是 $A$ 属于特征值 $6$ 的特征向量，求矩阵 $A$。

【解法一】由 $r(A)=2$ 可得特征值 $\lambda_1=\lambda_2=6, \lambda_3=0$，将 $\alpha_1=(1,1,0)^{\mathrm{T}},\alpha_2=(2,1,1)^{\mathrm{T}}$ 进行单位正交化得：$\xi_1 = \frac{1}{\sqrt{2}} (1,1,0)^{\mathrm{T}},\xi_2 = \frac{1}{\sqrt{6}}(1,-1,2)^{\mathrm{T}}$。

运用谱分解定理：

$$\begin{aligned} A &= \lambda_1 \xi_1 \xi_1^{\mathrm{T}} + \lambda_2 \xi_2 \xi_2^{\mathrm{T}} \\ &= 3 \xi_1 \xi_1^{\mathrm{T}} + \xi_2 \xi_2^{\mathrm{T}} \\ &= 3 \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} (1,1,0) + \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \\ 2 \end{bmatrix} (1,-1,2) \\ &= \begin{bmatrix} 4 & 2 & 2 \\ 2 & 4 & -2 \\ 2 & -2 & 4 \end{bmatrix} \end{aligned}$$

【解法二】先求出 $A$ 的另一特征值和对应的特征向量 $\lambda_3=0,\alpha_3=(-1,1,1)^{\mathrm{T}}$，进行单位正交化：$\xi_3=\frac{1}{\sqrt{3}}(-1,1,1)^{\mathrm{T}}$。

由于 $A$ 的特征值为 $\lambda_1=\lambda_2=6, \lambda_3=0$，所以 $A-6E$ 的特征值为 $\lambda_1=\lambda_2=0, \lambda_3=-6$，注意到其对应的特征向量仍然不变，因此可以先求出 $A-6E$，运用谱分解定理：

$$\begin{aligned} A-6E &= \lambda_3 \xi_3 \xi_3^{\mathrm{T}} \\ &= -2 \begin{bmatrix} -1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix} (-1,1,1) \\ &= \begin{bmatrix} -2 & 2 & 2 \\ 2 & -2 & -2 \\ 2 & -2 & -2 \end{bmatrix} \end{aligned}$$

所以有：

$$\begin{aligned} A &= (A-6E) + 6E \\ &= \begin{bmatrix} -2 & 2 & 2 \\ 2 & -2 & -2 \\ 2 & -2 & -2 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 6 & & \\ & 6 & \\ & & 6 \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} 4 & 2 & 2 \\ 2 & 4 & -2 \\ 2 & -2 & 4 \end{bmatrix} \end{aligned}$$