合同变换法

已知二次型 f=xTAxf = x^T A x，求变换 x=Pyx=Py，使得二次型化为标准型 f=yTΛyf=y^T \Lambda y，且 PTAP=ΛP^T A P = \Lambda。该过程的实质是一次合同变换，即

[A,E]→对A,E作初等行变换，对A作相应的初等列变换[Λ,PT][A,E] \xrightarrow{对A,E作初等行变换，对A作相应的初等列变换} [\Lambda, P^T]

具体的操作看下面几个例子。

一、实对称矩阵 A 对角元素均不为零

【例 1】将二次型 f(x1,x2,x3)=x12+5x22+5x32+2x1x2−4x1x3f(x_1, x_2, x_3) = x_1^2 + 5x_2^2 + 5x_3^2 + 2x_1x_2 - 4x_1x_3 化为标准型。

【解】由合同变换得

[11−2100150010−205001]→r2−r1[11−2100042−110−205001]→c2−c1[10−2100042−110−225001]→r3+2r1[10−2100042−110021201]→c3+2c1[100100042−110021201]→(∗)r3−12r2[100100042−11000052−121]→c3−12c2[100100040−11000052−121]\begin{aligned} & \left[ \begin{matrix} \begin{array}{ccc | ccc} 1 & 1 & -2 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 5 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ -2 & 0 & 5 & 0 & 0 & 1 \\ \end{array} \end{matrix} \right] \\ \xrightarrow{r_2-r_1} & \left[ \begin{matrix} \begin{array}{ccc | ccc} 1 & 1 & -2 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 2 & -1 & 1 & 0 \\ -2 & 0 & 5 & 0 & 0 & 1 \\ \end{array} \end{matrix} \right] \xrightarrow{c_2-c_1} \left[ \begin{matrix} \begin{array}{ccc | ccc} 1 & 0 & -2 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 2 & -1 & 1 & 0 \\ -2 & 2 & 5 & 0 & 0 & 1 \\ \end{array} \end{matrix} \right] \\ \xrightarrow{r_3+2r_1} & \left[ \begin{matrix} \begin{array}{ccc | ccc} 1 & 0 & -2 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 2 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 1 & 2 & 0 & 1 \\ \end{array} \end{matrix} \right] \xrightarrow{c_3+2c_1} \left[ \begin{matrix} \begin{array}{ccc | ccc} 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 2 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 1 & 2 & 0 & 1 \\ \end{array} \end{matrix} \right] \\ \xrightarrow{(*)r_3-\frac{1}{2}r_2} & \left[ \begin{matrix} \begin{array}{ccc | ccc} 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 2 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \frac{5}{2} & -\frac{1}{2} & 1 \\ \end{array} \end{matrix} \right] \xrightarrow{c_3-\frac{1}{2}c_2} \left[ \begin{matrix} \begin{array}{ccc | ccc} 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \frac{5}{2} & -\frac{1}{2} & 1 \\ \end{array} \end{matrix} \right] \end{aligned}

所以标准型为 y12+4y22y_1^2 + 4y_2^2，所作变换矩阵为 P=[1−15201−12001]P = \left[ \begin{matrix} 1 & -1 & \frac{5}{2} \\ 0 & 1 & -\frac{1}{2} \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{matrix} \right]，使 x=Pyx=Py。

若要求规范型，需对上述继续作合同变换，将 Λ\Lambda 上的对角元素 aa 化为 −1-1 或 11 或 00，为此需作一次初等倍乘行变换（rn/ar_n / \sqrt{a}），再对应作一次初等倍乘列变换（cn/ac_n / \sqrt{a}）。

→r2/4[100100020−1212000052−121]→c2/4[100100010−1212000052−121]\begin{aligned} & \xrightarrow{r_2 / \sqrt{4}} \left[ \begin{matrix} \begin{array}{ccc | ccc} 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \frac{5}{2} & -\frac{1}{2} & 1 \\ \end{array} \end{matrix} \right] \xrightarrow{c_2 / \sqrt{4}} \left[ \begin{matrix} \begin{array}{ccc | ccc} 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \frac{5}{2} & -\frac{1}{2} & 1 \\ \end{array} \end{matrix} \right] \end{aligned}

所以规范型为 z12+z22z_1^2 + z_2^2，所作变换矩阵为 Q=[1−1252012−12001]Q = \left[ \begin{matrix} 1 & -\frac{1}{2} & \frac{5}{2} \\ 0 & \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{matrix} \right]，使 x=Qzx=Qz。

需要注意的是，合同变换的实质仍是配方，但配方法只是用了某种坐标变换，得到标准型的系数，不一定是特征值（不要以为使用该方法得到的 Λ\Lambda 就是特征值！Λ\Lambda 只能指示正、负和零特征值的个数，即正、负惯性指数一定是唯一的）。只有进行正交变换得到的系数才是特征值。

由此可知，二次型的标准型并不唯一，但是规范型唯一！如对（*）处还可作如下合同变换

→(∗)r3↔r2[100100021201042−110]→c3↔c2[100100012201024−110]→r3−2r2[100100012201000−51−2]→c3−2c2[100100010201000−51−2]\begin{aligned} \xrightarrow{(*)r_3 \leftrightarrow r_2} & \left[ \begin{matrix} \begin{array}{ccc | ccc} 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 1 & 2 & 0 & 1 \\ 0 & 4 & 2 & -1 & 1 & 0 \\ \end{array} \end{matrix} \right] \xrightarrow{c_3 \leftrightarrow c_2} \left[ \begin{matrix} \begin{array}{ccc | ccc} 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 2 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 4 & -1 & 1 & 0 \\ \end{array} \end{matrix} \right] \\ \xrightarrow{r_3-2r_2} & \left[ \begin{matrix} \begin{array}{ccc | ccc} 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 2 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & -5 & 1 & -2 \\ \end{array} \end{matrix} \right] \xrightarrow{c_3-2c_2} \left[ \begin{matrix} \begin{array}{ccc | ccc} 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 2 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & -5 & 1 & -2 \\ \end{array} \end{matrix} \right] \end{aligned}

所以标准型为 y12+y22y_1^2 + y_2^2，所作变换矩阵为 P=[12−500101−2]P = \left[ \begin{matrix} 1 & 2 & -5 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & -2 \\ \end{matrix} \right]，使 x=Pyx=Py。

【例 2】（2014 年数二第 14 题）设二次型 f(x1,x2,x3)=x12−x22+2ax1x2+4x2x3f(x_1, x_2, x_3) = x_1^2 - x_2^2 + 2ax_1x_2 + 4x_2x_3 的负惯性指数为 11，求 aa 的取值范围。

【解】本题可使用配方法，但对于填空题来说比较麻烦。不妨采用合同变换法迅速解决本题。

[10a1000−12010a20001]→r3−ar1[10a1000−1201002−a21−a01]→c3−ac1[1001000−1201002−a21−a01]→r3+2r2[1001000−12010004−a21−a21]→c3+2c2[1001000−10010004−a21−a21]\begin{aligned} & \left[ \begin{matrix} \begin{array}{ccc | ccc} 1 & 0 & a & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 2 & 0 & 1 & 0 \\ a & 2 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{array} \end{matrix} \right] \\ \xrightarrow{r_3-ar_1} & \left[ \begin{matrix} \begin{array}{ccc | ccc} 1 & 0 & a & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 2 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & -a^2 & 1-a & 0 & 1 \\ \end{array} \end{matrix} \right] \xrightarrow{c_3-ac_1} \left[ \begin{matrix} \begin{array}{ccc | ccc} 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 2 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & -a^2 & 1-a & 0 & 1 \\ \end{array} \end{matrix} \right] \\ \xrightarrow{r_3+2r_2} & \left[ \begin{matrix} \begin{array}{ccc | ccc} 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 2 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 4-a^2 & 1-a & 2 & 1 \\ \end{array} \end{matrix} \right] \xrightarrow{c_3+2c_2} \left[ \begin{matrix} \begin{array}{ccc | ccc} 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 4-a^2 & 1-a & 2 & 1 \\ \end{array} \end{matrix} \right] \end{aligned}

因为负惯性指数为 11，所以 4−a2≥04-a^2 \geq 0，解得 −2≤a≤2-2 \leq a \leq 2。

二、实对称矩阵 A 对角元素有零

当发现二次型所对应的实对称矩阵 AA 上的对角元素为 0 时，需要先想办法将对角线上的元素变成不为 0 的数，具体看下例。

【例 3】将二次型 f(x1,x2,x3)=2x1x2+2x1x3+2x2x3f(x_1, x_2, x_3) = 2x_1x_2 + 2x_1x_3 + 2x_2x_3 化为标准型。

【解】发现对角线上第一个元素为 0，为使其不为 0，可将第二行加到第一行上，相应的就要作一次列变换，将第二列加到第一列上。对角线上其他位置为 0 的元素也是类似的处理方法。

[011100101010110001]→r1+r2[112110101010110001]→c1+c2[212110101010210001]→r2−12r1[2121100−120−12120210001]→c2−12c1[2021100−120−12120200001]→r3−r1[2021100−120−1212000−2−1−11]→c3−c1[2001100−120−1212000−2−1−11]\begin{aligned} & \left[ \begin{matrix} \begin{array}{ccc | ccc} 0 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{array} \end{matrix} \right] \\ \xrightarrow{r_1+r_2} & \left[ \begin{matrix} \begin{array}{ccc | ccc} 1 & 1 & 2 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{array} \end{matrix} \right] \xrightarrow{c_1+c_2} \left[ \begin{matrix} \begin{array}{ccc | ccc} 2 & 1 & 2 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 2 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{array} \end{matrix} \right] \\ \xrightarrow{r_2-\frac{1}{2}r_1} & \left[ \begin{matrix} \begin{array}{ccc | ccc} 2 & 1 & 2 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & -\frac{1}{2} & 0 & -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 \\ 2 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{array} \end{matrix} \right] \xrightarrow{c_2-\frac{1}{2}c_1} \left[ \begin{matrix} \begin{array}{ccc | ccc} 2 & 0 & 2 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & -\frac{1}{2} & 0 & -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 \\ 2 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{array} \end{matrix} \right] \\ \xrightarrow{r_3-r_1} & \left[ \begin{matrix} \begin{array}{ccc | ccc} 2 & 0 & 2 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & -\frac{1}{2} & 0 & -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & -2 & -1 & -1 & 1 \\ \end{array} \end{matrix} \right] \xrightarrow{c_3-c_1} \left[ \begin{matrix} \begin{array}{ccc | ccc} 2 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & -\frac{1}{2} & 0 & -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & -2 & -1 & -1 & 1 \\ \end{array} \end{matrix} \right] \end{aligned}

所以标准型为 2y12−12y22−2y322y_1^2 -\frac{1}{2} y_2^2 -2y_3^2，所作变换矩阵为 P=[1−12−1112−1001]P = \left[ \begin{matrix} 1 & -\frac{1}{2} & -1 \\ 1 & \frac{1}{2} & -1 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{matrix} \right]，使 x=Pyx=Py。

若要求规范型，则继续进行变换

→r1/2[200121200−120−1212000−2−1−11]→c1/2[100121200−120−1212000−2−1−11]→r2/12[100121200−120−1212000−2−1−11]→c2/12[100121200−10−1212000−2−1−11]→r3/2[100121200−10−1212000−2−12−1212]→c3/2[100121200−10−1212000−1−12−1212]\begin{aligned} & \xrightarrow{r_1/\sqrt{2}} \left[ \begin{matrix} \begin{array}{ccc | ccc} \sqrt{2} & 0 & 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 \\ 0 & -\frac{1}{2} & 0 & -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & -2 & -1 & -1 & 1 \\ \end{array} \end{matrix} \right] \xrightarrow{c_1/\sqrt{2}} \left[ \begin{matrix} \begin{array}{ccc | ccc} 1 & 0 & 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 \\ 0 & -\frac{1}{2} & 0 & -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & -2 & -1 & -1 & 1 \\ \end{array} \end{matrix} \right] \\ & \xrightarrow{r_2/\frac{1}{\sqrt{2}}} \left[ \begin{matrix} \begin{array}{ccc | ccc} 1 & 0 & 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 \\ 0 & -\frac{1}{\sqrt{2}} & 0 & -\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 \\ 0 & 0 & -2 & -1 & -1 & 1 \\ \end{array} \end{matrix} \right] \xrightarrow{c_2/\frac{1}{\sqrt{2}}} \left[ \begin{matrix} \begin{array}{ccc | ccc} 1 & 0 & 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 \\ 0 & -1 & 0 & -\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 \\ 0 & 0 & -2 & -1 & -1 & 1 \\ \end{array} \end{matrix} \right] \\ & \xrightarrow{r_3/\sqrt{2}} \left[ \begin{matrix} \begin{array}{ccc | ccc} 1 & 0 & 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 \\ 0 & -1 & 0 & -\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 \\ 0 & 0 & -\sqrt{2} & -\frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \end{array} \end{matrix} \right] \xrightarrow{c_3/\sqrt{2}} \left[ \begin{matrix} \begin{array}{ccc | ccc} 1 & 0 & 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 \\ 0 & -1 & 0 & -\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 \\ 0 & 0 & -1 & -\frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \end{array} \end{matrix} \right] \end{aligned}

所以规范型为 z12−z22−z32z_1^2 -z_2^2-z_3^2，所作变换矩阵为 Q=[12−12−121212−120012]Q = \left[ \begin{matrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \\ 0 & 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \end{matrix} \right]，使 x=Qzx=Qz。

三、实战一道题

【例 4】（2021年数一张宇八套卷卷一第21题）已知实对称矩阵 A=[222a]A = \left[ \begin{matrix} 2 & 2 \\ 2 & a \end{matrix}\right] 和 B=[4331]B = \left[ \begin{matrix} 4 & 3 \\ 3 & 1 \end{matrix}\right]，其中 aa 为正整数，求可逆矩阵 CC，使得 CTAC=BC^TAC=B。

【解】由于 AA 有未知参数，先对 BB 进行合同变换。

[43103101]→r2−34r1[43100−54−341]→c2−34c1[40100−54−341]→r1/2[201200−54−341]→c1/2[101200−54−341]→r2/52[101200−52−32525]→c2/52[101200−1−32525]\begin{aligned} & \left[ \begin{matrix} \begin{array}{cc | cc} 4 & 3 & 1 & 0 \\ 3 & 1 & 0 & 1 \\ \end{array} \end{matrix} \right] \\ \xrightarrow{r_2 - \frac{3}{4}r_1} & \left[ \begin{matrix} \begin{array}{cc | cc} 4 & 3 & 1 & 0 \\ 0 & -\frac{5}{4} & -\frac{3}{4} & 1 \\ \end{array} \end{matrix} \right] \xrightarrow{c_2 - \frac{3}{4}c_1} \left[ \begin{matrix} \begin{array}{cc | cc} 4 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -\frac{5}{4} & -\frac{3}{4} & 1 \\ \end{array} \end{matrix} \right] \\ \xrightarrow{r_1/2} & \left[ \begin{matrix} \begin{array}{cc | cc} 2 & 0 & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & -\frac{5}{4} & -\frac{3}{4} & 1 \\ \end{array} \end{matrix} \right] \xrightarrow{c_1/2} \left[ \begin{matrix} \begin{array}{cc | cc} 1 & 0 & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & -\frac{5}{4} & -\frac{3}{4} & 1 \\ \end{array} \end{matrix} \right] \\ \xrightarrow{r_2/\frac{\sqrt{5}}{2}} & \left[ \begin{matrix} \begin{array}{cc | cc} 1 & 0 & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & -\frac{\sqrt{5}}{2} & -\frac{3}{2\sqrt{5}} & \frac{2}{\sqrt{5}} \\ \end{array} \end{matrix} \right] \xrightarrow{c_2/\frac{\sqrt{5}}{2}} \left[ \begin{matrix} \begin{array}{cc | cc} 1 & 0 & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & -1 & -\frac{3}{2\sqrt{5}} & \frac{2}{\sqrt{5}} \\ \end{array} \end{matrix} \right] \end{aligned}

由此可知 BB 的正、负惯性指数均为 1，变换矩阵为 C2=[12−325025]C_2 = \left[ \begin{matrix} \frac{1}{2} & -\frac{3}{2\sqrt{5}} \\ 0 & \frac{2}{\sqrt{5}} \\ \end{matrix} \right]，使得 C2TBC2=[100−1]C_2^TBC_2 = \left[ \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \\ \end{matrix} \right]。下面来对 AA 进行合同变换。

[22102a01]→r2−r1[22100a−2−11]→c2−c1[20100a−2−11]\begin{aligned} & \left[ \begin{matrix} \begin{array}{cc | cc} 2 & 2 & 1 & 0 \\ 2 & a & 0 & 1 \\ \end{array} \end{matrix} \right] \\ \xrightarrow{r_2 - r_1} & \left[ \begin{matrix} \begin{array}{cc | cc} 2 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & a-2 & -1 & 1 \\ \end{array} \end{matrix} \right] \xrightarrow{c_2 - c_1} \left[ \begin{matrix} \begin{array}{cc | cc} 2 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & a-2 & -1 & 1 \\ \end{array} \end{matrix} \right] \end{aligned}

由于 CTAC=BC^TAC=B，即 AA 与 BB 合同，所以两者的正、负惯性指数相等，于是有 a−2<0a-2<0，又因为 aa 为正整数，所以 a=1a=1。继续对 AA 进行合同变换得

[20100−1−11]→r1/2[201200−1−11]→c1/2[101200−1−11]\begin{aligned} & \left[ \begin{matrix} \begin{array}{cc | cc} 2 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & -1 & 1 \\ \end{array} \end{matrix} \right] \\ \xrightarrow{r_1 / \sqrt{2}} & \left[ \begin{matrix} \begin{array}{cc | cc} \sqrt{2} & 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 \\ 0 & -1 & -1 & 1 \\ \end{array} \end{matrix} \right] \xrightarrow{c_1 / \sqrt{2}} \left[ \begin{matrix} \begin{array}{cc | cc} 1 & 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 \\ 0 & -1 & -1 & 1 \\ \end{array} \end{matrix} \right] \end{aligned}

由此可知变换矩阵为 C1=[12−101]C_1 = \left[ \begin{matrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & -1 \\ 0 & 1 \\ \end{matrix} \right]，使得 C1TAC1=[100−1]C_1^TAC_1 = \left[ \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \\ \end{matrix} \right]。

因此有 C1TAC1=C2TBC2C_1^TAC_1 = C_2^TBC_2，即 (C1C2−1)TA(C1C2−1)=B(C_1C_2^{-1})^TA(C_1C_2^{-1}) = B，因此所求矩阵为

C=C1C2−1=[12−101][232052]=[232−254052]C = C_1C_2^{-1} = \left[ \begin{matrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & -1 \\ 0 & 1 \\ \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} 2 & \frac{3}{2} \\ 0 & \frac{\sqrt{5}}{2} \\ \end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix} \sqrt{2} & \frac{3\sqrt{2}-2\sqrt{5}}{4} \\ 0 & \frac{\sqrt{5}}{2} \\ \end{matrix} \right]