正定矩阵的分解方法

设三阶正定矩阵 $A$，若矩阵 $A$ 的特征值为 $\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3$，对应的单位化特征向量分别为 $\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$ 且两两正交，则存在正交矩阵 $Q = (\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)$，使得 $Q^{\mathrm{T}}AQ = \Lambda = \begin{bmatrix} \lambda_1 & & \\ & \lambda_2 & \\ & & \lambda_3 \end{bmatrix}$

现得到 $A = Q \Lambda Q^{\mathrm{T}}$，令 $\Lambda_1 = \begin{bmatrix} \sqrt{\lambda_1} & & \\ & \sqrt{\lambda_2} & \\ & & \sqrt{\lambda_3} \end{bmatrix}$，则正定矩阵 $A$ 有以下分解方法：

【方法一】 $A = Q \Lambda Q^{\mathrm{T}} = Q (\Lambda_1 \Lambda_1) Q^{\mathrm{T}} = (\Lambda_1 Q^{\mathrm{T}})^{\mathrm{T}} (\Lambda_1 Q^{\mathrm{T}}) = C^{\mathrm{T}} C（令 C = \Lambda_1 Q^{\mathrm{T}}）$

【方法二】 $A = Q \Lambda Q^{\mathrm{T}} = Q \Lambda_1 \Lambda_1 Q^{\mathrm{T}} = Q \Lambda_1 (Q^{\mathrm{T}} Q) \Lambda_1 Q^{\mathrm{T}} = (Q \Lambda_1 Q^{\mathrm{T}})(Q \Lambda_1 Q^{\mathrm{T}}) = C^2 （令 C = Q \Lambda_1 Q^{\mathrm{T}}）$

此时由谱分解定理得：

• $A = \lambda_1 \alpha_1 \alpha_1^{\mathrm{T}} + \lambda_2 \alpha_2 \alpha_2^{\mathrm{T}} + \lambda_3 \alpha_3 \alpha_3^{\mathrm{T}}$
• $B = \sqrt{\lambda_1} \alpha_1 \alpha_1^{\mathrm{T}} + \sqrt{\lambda_2} \alpha_2 \alpha_2^{\mathrm{T}} + \sqrt{\lambda_3} \alpha_3 \alpha_3^{\mathrm{T}}$

【拓展】 若要将正定矩阵 $A$ 分解为 $C^3$，则可令 $\Lambda_2 = \begin{bmatrix} \sqrt[3]{\lambda_1} & & \\ & \sqrt[3]{\lambda_2} & \\ & & \sqrt[3]{\lambda_3} \end{bmatrix}$，所以有：$A = (Q \Lambda_2 Q^{\mathrm{T}})(Q \Lambda_2 Q^{\mathrm{T}})(Q \Lambda_2 Q^{\mathrm{T}}) = C^3 （令 C = Q \Lambda_2 Q^{\mathrm{T}}）$

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相关例题

【例 1】已知矩阵 $A = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{bmatrix}$，求一个可逆矩阵 $C$，使得 $C^3 = A$。

【解】$C^3 = A$ 的特征值为 $1,1,-1$，则 $C$ 的特征值为 $\sqrt[3]{1},\sqrt[3]{1},\sqrt[3]{-1}$（即 $1,1,-1$），所以 $C-E$ 的特征值为 $0,0,-2$。

$A$ 的特征值 $-1$ 所对应的特征向量为 $\alpha_3 = \frac{1}{\sqrt{2}} (1,0,-1)^{\mathrm{T}}$，则 $C-E$ 的特征值 $\lambda_3 = -2$ 所对应的特征向量也为 $\alpha_3 = \frac{1}{\sqrt{2}} (1,0,-1)^{\mathrm{T}}$。

由谱分解定理得

$$\begin{aligned} C-E &= \lambda_3 \alpha_3 \alpha_3^{\mathrm{T}} \\ &= -2 \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{bmatrix} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} (1,0,-1) \\ &= -\begin{bmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 0 \\ -1 & 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & -1 \end{bmatrix} \\ \therefore C &= (C-E) + E = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{bmatrix} \end{aligned}$$

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【例 2】已知矩阵 $A = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{bmatrix}$，求一个正定矩阵 $C$，使得 $C^2 = A+2E$。

【解】$A$ 的特征值为 $1,1,-1$，则 $C^2 = A+2E$ 的特征值为 $3,3,1$，则 $C$ 的特征值为 $\sqrt{3},\sqrt{3},1$，所以 $C-\sqrt{3}E$ 的特征值为 $0,0,1-\sqrt{3}$。

$A$ 的特征值 $-1$ 所对应的特征向量为 $\alpha_3 = \frac{1}{\sqrt{2}} (1,0,-1)^{\mathrm{T}}$，则 $C-\sqrt{3}E$ 的特征值 $\lambda_3 = 1-\sqrt{3}$ 所对应的特征向量也为 $\alpha_3 = \frac{1}{\sqrt{2}} (1,0,-1)^{\mathrm{T}}$。

由谱分解定理得

$$\begin{aligned} C-\sqrt{3}E &= \lambda_3 \alpha_3 \alpha_3^{\mathrm{T}} \\ &= (1-\sqrt{3}) \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{bmatrix} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} (1,0,-1) \\ &= \frac{1-\sqrt{3}}{2} \begin{bmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 0 \\ -1 & 0 & 1 \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} \frac{1-\sqrt{3}}{2} & 0 & \frac{\sqrt{3}-1}{2} \\ 0 & 0 & 0 \\ \frac{\sqrt{3}-1}{2} & 0 & \frac{1-\sqrt{3}}{2} \end{bmatrix} \\ \therefore C &= (C-\sqrt{3}E) + \sqrt{3}E = \begin{bmatrix} \frac{\sqrt{3}+1}{2} & 0 & \frac{\sqrt{3}-1}{2} \\ 0 & \sqrt{3} & 0 \\ \frac{\sqrt{3}-1}{2} & 0 & \frac{\sqrt{3}+1}{2} \end{bmatrix} \end{aligned}$$

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【例 3】已知矩阵 $A = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{bmatrix}$，求一个正定矩阵 $C$，使得 $C^n = A+2E$。

【解】该题与上题的解法是相似的，现直接给出答案：

$$C = \begin{bmatrix} \frac{\sqrt[n]{3}+1}{2} & 0 & \frac{\sqrt[n]{3}-1}{2} \\ 0 & \sqrt[n]{3} & 0 \\ \frac{\sqrt[n]{3}-1}{2} & 0 & \frac{\sqrt[n]{3}+1}{2} \end{bmatrix}$$