一、初等变换

1. 互换变换

  • 第ii行和第jj行互换：EijE_{ij}
  • 第ii列和第jj列互换：EijE_{ij}

【例】第11行和第22行互换，或第11列和第22列互换：E12=[010100001]E_{12}=\left[ \begin{matrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{matrix} \right]

【推导】不凭记忆，如何求出互换变换矩阵？

（1）行互换：设矩阵A=[α1α2α3]A = \left[ \begin{matrix} \alpha_1 \\ \alpha_2 \\ \alpha_3\end{matrix} \right]，其中α1,α2,α3\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3为行向量，则第11行和第22行互换后得到B=[α2α1α3]=[010100001][α1α2α3]=[010100001]AB = \left[ \begin{matrix} \alpha_2 \\ \alpha_1 \\ \alpha_3\end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} \alpha_1 \\ \alpha_2 \\ \alpha_3\end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{matrix} \right] A。

（2）列互换：设矩阵A=(α1,α2,α3)A = (\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)，其中α1,α2,α3\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3为列向量，则第11列和第22列互换后得到B=(α2,α1,α3)=(α1,α2,α3)[010100001]=A[010100001]B =(\alpha_2,\alpha_1,\alpha_3) = (\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3) \left[ \begin{matrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{matrix} \right] = A \left[ \begin{matrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{matrix} \right]。

2. 倍加变换

  • 第ii行的kk倍加到第jj行：Eij(k)E_{ij}(k)
  • 第ii列的kk倍加到第jj列：Eij(k)E_{ij}(k)

【例】第11行的33倍加到第22行，或第22列的33倍加到第11列：E12(3)=[100310001]E_{12}(3)=\left[ \begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 3 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{matrix} \right]

【推导】不凭记忆，如何求出倍加变换矩阵？

（1）行倍加：设矩阵A=[α1α2α3]A = \left[ \begin{matrix} \alpha_1 \\ \alpha_2 \\ \alpha_3\end{matrix} \right]，其中α1,α2,α3\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3为行向量，则第11行的33倍加到第22行后得到B=[α1α2+3α1α3]=[100310001][α1α2α3]=[100310001]AB = \left[ \begin{matrix} \alpha_1 \\ \alpha_2+3\alpha_1 \\ \alpha_3\end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 3 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} \alpha_1 \\ \alpha_2 \\ \alpha_3\end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 3 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{matrix} \right] A。

（2）列倍加：设矩阵A=(α1,α2,α3)A = (\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)，其中α1,α2,α3\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3为列向量，则第22列的33倍加到第11列后得到B=(α1+3α2,α2,α3)=(α1,α2,α3)[100310001]=A[100310001]B = (\alpha_1+3\alpha_2,\alpha_2,\alpha_3) = (\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3) \left[ \begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 3 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{matrix} \right] = A \left[ \begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 3 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{matrix} \right]。

3. 倍乘变换

  • 第ii行乘kk：Ei(k)E_{i}(k)
  • 第ii列乘kk：Ei(k)E_{i}(k)

【例】第33行乘−2-2，或第33列乘−2-2：E3(−2)=[10001000−2]E_{3}(-2)=\left[ \begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -2\end{matrix} \right]

【推导】不凭记忆，如何求出倍乘变换矩阵？

（1）行倍乘：设矩阵A=[α1α2α3]A = \left[ \begin{matrix} \alpha_1 \\ \alpha_2 \\ \alpha_3\end{matrix} \right]，其中α1,α2,α3\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3为行向量，则第33行乘−2-2后得到B=[α1α2−2α3]=[10001000−2][α1α2α3]=[10001000−2]AB = \left[ \begin{matrix} \alpha_1 \\ \alpha_2 \\ -2\alpha_3\end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -2\end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} \alpha_1 \\ \alpha_2 \\ \alpha_3\end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -2\end{matrix} \right] A。

（2）列倍乘：设矩阵A=(α1,α2,α3)A = (\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)，其中α1,α2,α3\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3为列向量，则第33列乘−2-2后得到B=(α1,α2,−2α3)=(α1,α2,α3)[10001000−2]=A[10001000−2]B = (\alpha_1,\alpha_2,-2\alpha_3) = (\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3) \left[ \begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -2\end{matrix} \right] = A \left[ \begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -2\end{matrix} \right]。

4. 性质

（1）可逆：三种变换均不会改变矩阵的秩（矩阵的初等变换不会改变秩）

  • 互换：Eij−1=EijE_{ij}^{-1} = E_{ij}
  • 倍加：Eij−1(k)=Eij(−k)E_{ij}^{-1}(k) = E_{ij}(-k)
  • 倍乘：Ei−1(k)=Ei(1k)E_{i}^{-1}(k) = E_{i}(\frac{1}{k})

（2）幂次方

  • 互换：Eijn={Eij,n为偶数E,n为奇数E_{ij}^{n} = \begin{cases} E_{ij}, & n为偶数 \\ E, & n为奇数\end{cases}
  • 倍加：Eijn(k)=Eij(nk)E_{ij}^{n}(k) = E_{ij}(nk)
  • 倍乘：Ein(k)=Ei(kn)E_{i}^{n}(k) = E_{i}(k^n)

（3）行列式

  • 互换：∣Eij∣=−1|E_{ij}| = -1
  • 倍加：∣Eij(k)∣=1|E_{ij}(k)| = 1
  • 倍乘：∣Ei(k)∣=k(k≠0)|E_{i}(k)| = k(k \neq 0)

（4）转置

  • 互换：EijT=EijE_{ij}^{\mathrm{T}} = E_{ij}
  • 倍加：EijT(k)=Eji(k)E_{ij}^{\mathrm{T}}(k) = E_{ji}(k)
  • 倍乘：EiT(k)=Ei(k)E_{i}^{\mathrm{T}}(k) = E_{i}(k)

二、广义初等变换

广义初等变换是初等变换的推广。广义初等变换是对分块矩阵的变换，该方法将每一块视为一个整体，类比初等变换那样进行变换。

1. 广义换法变换

与初等互换变换类似，广义换法变换的变换矩阵形式为[OEEO]\left[ \begin{matrix} O & E \\ E & O \end{matrix} \right]，其行列式的值均不为00，说明变换矩阵均可逆，此变换不会改变矩阵的秩。

（1）第22行与第11行互换：

[ABCD]→r1↔r2[CDAB]等价于[OEEO][ABCD]=[CDAB]（行变换需左乘）\begin{aligned} &\left[ \begin{matrix} A & B \\ C & D \end{matrix} \right] \xrightarrow{r_1 \leftrightarrow r_2} \left[ \begin{matrix} C & D \\ A & B \end{matrix} \right] \\ 等价于&\left[ \begin{matrix} O & E \\ E & O \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} A & B \\ C & D \end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix} C & D \\ A & B \end{matrix} \right]（行变换需左乘） \end{aligned}

（2）第22列与第11列互换：

[ABCD]→c1↔c2[BADC]等价于[ABCD][OEEO]=[BADC]（列变换需右乘）\begin{aligned} &\left[ \begin{matrix} A & B \\ C & D \end{matrix} \right] \xrightarrow{c_1 \leftrightarrow c_2} \left[ \begin{matrix} B & A \\ D & C \end{matrix} \right] \\ 等价于&\left[ \begin{matrix} A & B \\ C & D \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} O & E \\ E & O \end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix} B & A \\ D & C \end{matrix} \right]（列变换需右乘） \end{aligned}

2. 广义消法变换

与初等倍加变换类似，广义消法变换的变换矩阵形式有两种：[EMOE]\left[ \begin{matrix} E & M \\ O & E \end{matrix} \right]和[EOME]\left[ \begin{matrix} E & O \\ M & E \end{matrix} \right]，其行列式的值均不为00，说明变换矩阵均可逆，此变换不会改变矩阵的秩。

（1）第22行左乘矩阵MM后加到第11行：

[ABCD]→r1+Mr2[A+MCB+MDCD]等价于[EMOE][ABCD]=[A+MCB+MDCD]（行变换需左乘）\begin{aligned} &\left[ \begin{matrix} A & B \\ C & D \end{matrix} \right] \xrightarrow{r_1+Mr_2} \left[ \begin{matrix} A+MC & B+MD \\ C & D \end{matrix} \right] \\ 等价于&\left[ \begin{matrix} E & M \\ O & E \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} A & B \\ C & D \end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix} A+MC & B+MD \\ C & D \end{matrix} \right]（行变换需左乘） \end{aligned}

（2）第11行左乘矩阵MM后加到第22行：

[ABCD]→r2+Mr1[ABC+MAD+MB]等价于[EOME][ABCD]=[ABC+MAD+MB]（行变换需左乘）\begin{aligned} &\left[ \begin{matrix} A & B \\ C & D \end{matrix} \right] \xrightarrow{r_2+Mr_1} \left[ \begin{matrix} A & B \\ C+MA & D+MB \end{matrix} \right] \\ 等价于&\left[ \begin{matrix} E & O \\ M & E \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} A & B \\ C & D \end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix} A & B \\ C+MA & D+MB \end{matrix} \right]（行变换需左乘） \end{aligned}

（3）第22列右乘矩阵MM后加到第11列：

[ABCD]→c1+c2M[A+BMBC+DMD]等价于[ABCD][EOME]=[A+BMBC+DMD]（列变换需右乘）\begin{aligned} &\left[ \begin{matrix} A & B \\ C & D \end{matrix} \right] \xrightarrow{c_1+c_2M} \left[ \begin{matrix} A+BM & B \\ C+DM & D \end{matrix} \right] \\ 等价于&\left[ \begin{matrix} A & B \\ C & D \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} E & O \\ M & E \end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix} A+BM & B \\ C+DM & D \end{matrix} \right]（列变换需右乘） \end{aligned}

（4）第11列右乘矩阵MM后加到第22列：

[ABCD]→c2+c1M[AB+AMCD+CM]等价于[ABCD][EMOE]=[AB+AMCD+CM]（列变换需右乘）\begin{aligned} &\left[ \begin{matrix} A & B \\ C & D \end{matrix} \right] \xrightarrow{c_2+c_1M} \left[ \begin{matrix} A & B+AM \\ C & D+CM \end{matrix} \right] \\ 等价于&\left[ \begin{matrix} A & B \\ C & D \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} E & M \\ O & E \end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix} A & B+AM \\ C & D+CM \end{matrix} \right]（列变换需右乘） \end{aligned}

3. 广义倍法变换

与初等倍乘变换类似，广义倍法变换的变换矩阵形式有两种：[MOOE]\left[ \begin{matrix} M & O \\ O & E \end{matrix} \right]和[EOOM]\left[ \begin{matrix} E & O \\ O & M \end{matrix} \right]，其行列式的值为∣M∣|M|，此时分为两种情况：当∣M∣≠0|M| \neq 0时，变换矩阵均可逆，此变换不会改变矩阵的秩；当∣M∣=0|M|=0时，变换矩阵不可逆，此变换会改变矩阵的秩，这时就不能使用广义倍法变换了。所以，尽量少使用此变换，因为该变换可能会改变矩阵的秩。

（1）第11行左乘矩阵M（∣M∣≠0）M（|M| \neq 0）：

[ABCD]→Mr1[MAMBCD]等价于[MOOE][ABCD]=[MAMBCD]（行变换需左乘）\begin{aligned} &\left[ \begin{matrix} A & B \\ C & D \end{matrix} \right] \xrightarrow{Mr_1} \left[ \begin{matrix} MA & MB \\ C & D \end{matrix} \right] \\ 等价于&\left[ \begin{matrix} M & O \\ O & E \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} A & B \\ C & D \end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix} MA & MB \\ C & D \end{matrix} \right]（行变换需左乘） \end{aligned}

（2）第22行左乘矩阵M（∣M∣≠0）M（|M| \neq 0）：

[ABCD]→Mr2[ABMCMD]等价于[EOOM][ABCD]=[ABMCMD]（行变换需左乘）\begin{aligned} &\left[ \begin{matrix} A & B \\ C & D \end{matrix} \right] \xrightarrow{Mr_2} \left[ \begin{matrix} A & B \\ MC & MD \end{matrix} \right] \\ 等价于&\left[ \begin{matrix} E & O \\ O & M \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} A & B \\ C & D \end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix} A & B \\ MC & MD \end{matrix} \right]（行变换需左乘） \end{aligned}

（3）第11列右乘矩阵M（∣M∣≠0）M（|M| \neq 0）：

[ABCD]→c1M[AMBCMD]等价于[ABCD][MOOE]=[AMBCMD]（列变换需右乘）\begin{aligned} &\left[ \begin{matrix} A & B \\ C & D \end{matrix} \right] \xrightarrow{c_1M} \left[ \begin{matrix} AM & B \\ CM & D \end{matrix} \right] \\ 等价于&\left[ \begin{matrix} A & B \\ C & D \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} M & O \\ O & E \end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix} AM & B \\ CM & D \end{matrix} \right]（列变换需右乘） \end{aligned}

（4）第22列右乘矩阵M（∣M∣≠0）M（|M| \neq 0）：

[ABCD]→c2M[ABMCDM]等价于[ABCD][EOOM]=[ABMCDM]（列变换需右乘）\begin{aligned} &\left[ \begin{matrix} A & B \\ C & D \end{matrix} \right] \xrightarrow{c_2M} \left[ \begin{matrix} A & BM \\ C & DM \end{matrix} \right] \\ 等价于&\left[ \begin{matrix} A & B \\ C & D \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} E & O \\ O & M \end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix} A & BM \\ C & DM \end{matrix} \right]（列变换需右乘） \end{aligned}

三、例题

1. 初等变换

【例 1】将矩阵AA的第22行的−3-3倍加到第11行得到矩阵BB，然后将矩阵BB的第11列的22倍加到第33列得到数量矩阵5E5E，求矩阵AA。

【解】设矩阵A=[α1α2α3]A = \left[ \begin{matrix} \alpha_1 \\ \alpha_2 \\ \alpha_3\end{matrix} \right]，其中α1,α2,α3\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3为行向量，则矩阵B=[α1−3α2α2α3]=[1−30010001][α1α2α3]B = \left[ \begin{matrix} \alpha_1-3\alpha_2 \\ \alpha_2 \\ \alpha_3\end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix} 1 & -3 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} \alpha_1 \\ \alpha_2 \\ \alpha_3\end{matrix} \right]，所以变换矩阵P=[1−30010001]P = \left[ \begin{matrix} 1 & -3 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{matrix} \right]。根据初等变换矩阵的性质可得P−1=[130010001]P^{-1} = \left[ \begin{matrix} 1 & 3 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{matrix} \right]。

设矩阵B=(β1,β2,β3)B = (\beta_1,\beta_2,\beta_3)，其中β1,β2,β3\beta_1,\beta_2,\beta_3为列向量，则矩阵C=(β1,β2,β3+2β1)=(β1,β2,β3)[102010001]C = (\beta_1,\beta_2,\beta_3+2\beta_1) = (\beta_1,\beta_2,\beta_3) \left[ \begin{matrix} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{matrix} \right]，所以变换矩阵Q=[102010001]Q = \left[ \begin{matrix} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{matrix} \right]。根据初等变换矩阵的性质可得Q−1=[10−2010001]Q^{-1} = \left[ \begin{matrix} 1 & 0 & -2 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{matrix} \right]。

由题意得PAQ=5EPAQ = 5E，则矩阵A=5P−1Q−1=5[130010001][10−2010001]=5[13−2010001]A = 5P^{-1}Q^{-1} =5 \left[ \begin{matrix} 1 & 3 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} 1 & 0 & -2 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{matrix} \right] = 5 \left[ \begin{matrix} 1 & 3 & -2 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{matrix} \right]。

若是通过初等变换求矩阵的秩，由于初等行变换和初等列变换均不改变原矩阵的秩，所以初等行、列变换可以混合使用。

【例 2】设A=[abbbabbba]A=\left[ \begin{matrix} a & b & b \\ b & a & b \\ b & b & a\end{matrix} \right]，已知r(A∗)+r(A)=3r(A^*)+r(A)=3，求a,ba,b应该满足的关系。

【解】由r(A∗)+r(A)=3r(A^*)+r(A)=3易知：r(A)=2,r(A∗)=1r(A)=2,r(A^*)=1，接下来对AA进行初等变换：

[abbbabbba]→r1+r2,r1+r3[a+2ba+2ba+2bbabbba]→c2−c1,c3−c1[a+2b00ba−b0b0a−b]\begin{aligned} &\left[ \begin{matrix} a & b & b \\ b & a & b \\ b & b & a \end{matrix} \right] \xrightarrow{r_1+r_2,r_1+r_3} \left[ \begin{matrix} a+2b & a+2b & a+2b \\ b & a & b \\ b & b & a \end{matrix} \right] \\ &\xrightarrow{c_2-c_1,c_3-c_1} \left[ \begin{matrix} a+2b & 0 & 0 \\ b & a-b & 0 \\ b & 0 & a-b \end{matrix} \right] \end{aligned}

因为r(A)<3r(A)<3，所以有∣A∣=(a+2b)(a−b)2=0|A|=(a+2b)(a-b)^2=0。若a−b=0a-b=0，则r(A)=1r(A)=1，不符合题意，所以a−b≠0a-b \neq 0且a+2b=0a+2b=0。

2. 应用于矩阵的秩

【例 1】设矩阵AA和BB均为nn阶矩阵，证明：r(A,AB)=r(ABA)=r(A)r(A,AB) = r \left( \begin{matrix} A \\ BA \end{matrix} \right) = r(A)。

【证明】（1）先证明r(A,AB)=r(A)r(A,AB) = r(A)：

由广义初等变换得：(A,AB)→c2−c1B(A,O)(A,AB) \xrightarrow{c_2-c_1B} (A,O)，且变换矩阵可逆，说明r(A,AB)=r(A,O)=r(A)r(A,AB) = r(A,O) = r(A)。

（2）再证明r(ABA)=r(A)r \left( \begin{matrix} A \\ BA \end{matrix} \right) = r(A)：

由广义初等变换得：(ABA)→r2−Br1(AO)\left( \begin{matrix} A \\ BA \end{matrix} \right) \xrightarrow{r_2-Br_1} \left( \begin{matrix} A \\ O \end{matrix} \right)，且变换矩阵可逆，说明r(ABA)=(AO)=r(A)r \left( \begin{matrix} A \\ BA \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} A \\ O \end{matrix} \right) = r(A)。

综上有：r(A,AB)=r(ABA)=r(A)r(A,AB) = r \left( \begin{matrix} A \\ BA \end{matrix} \right) = r(A)。

【例 2】设矩阵AA和BB均为m×nm \times n阶矩阵，证明：r(A+BA−B)=r(AB)r \left( \begin{matrix} A+B \\ A-B \end{matrix} \right) = r \left( \begin{matrix} A \\ B \end{matrix} \right)。

【证明】由广义初等变换得：

(A+BA−B)→r1+Er2(2AA−B)→r2−12Er1(2A−B)→12Er1,(−E)r2(AB)\left( \begin{matrix} A+B \\ A-B \end{matrix} \right) \xrightarrow{r_1+Er_2} \left( \begin{matrix} 2A \\ A-B \end{matrix} \right) \xrightarrow{r_2-\frac{1}{2}Er_1} \left( \begin{matrix} 2A \\ -B \end{matrix} \right) \xrightarrow{\frac{1}{2}Er_1, (-E)r_2} \left( \begin{matrix} A \\ B \end{matrix} \right)

其中，第一次和第二次的广义消法变换不会改变秩，第三次的广义倍法变换可能会改变原矩阵的秩，因此考查第三次变换的情况。

第三次的广义倍法变换矩阵为[12EOO−E]\left[\begin{matrix} \frac{1}{2}E & O \\ O & -E \end{matrix} \right]，其行列式不为00，说明该变换矩阵可逆，不会改变原矩阵的秩。

因此得证：r(A+BA−B)=r(AB)r \left( \begin{matrix} A+B \\ A-B \end{matrix} \right) = r \left( \begin{matrix} A \\ B \end{matrix} \right)。

【例 3】设矩阵AA和BB均为m×nm \times n阶矩阵，证明：r(A+B)≤r(AB),r(A+B)≤r(A,B)r(A+B) \leq r \left( \begin{matrix} A \\ B \end{matrix} \right), r(A+B) \leq r(A,B)。

【证明】（1）证明r(A+B)≤r(AB)r(A+B) \leq r \left( \begin{matrix} A \\ B \end{matrix} \right)：

由广义初等变换得：(AB)→r1+Er2(A+BB)\left( \begin{matrix} A \\ B \end{matrix} \right) \xrightarrow{r_1+Er_2} \left( \begin{matrix} A+B \\ B \end{matrix} \right)，其变换并未改变原矩阵的秩，所以有：r(AB)=r(A+BB)≥r(A+B)r \left( \begin{matrix} A \\ B \end{matrix} \right) = r \left( \begin{matrix} A+B \\ B \end{matrix} \right) \geq r(A+B)，得证。

（2）证明r(A+B)≤r(A,B)r(A+B) \leq r(A,B)：

由广义初等变换得：(A,B)→c1+c2E(A+B,B)(A,B) \xrightarrow{c_1+c_2E} (A+B,B)，其变换并未改变原矩阵的秩，所以有：r(A,B)=r(A+B,B)≥r(A+B)r(A,B) = r(A+B,B) \geq r(A+B)，得证。

【例 4】设A,BA,B为nn阶实矩阵，下列不成立的是（ ）

（A）r(AOOATA)=2r(A)r \left( \begin{matrix} A & O \\ O & A^TA \end{matrix} \right) = 2r(A)

（B）r(AABOAT)=2r(A)r \left( \begin{matrix} A & AB \\ O & A^T \end{matrix} \right) = 2r(A)

（C）r(ABAOAAT)=2r(A)r \left( \begin{matrix} A & BA \\ O & AA^T \end{matrix} \right) = 2r(A)

（D）r(AOBAAT)=2r(A)r \left( \begin{matrix} A & O \\ BA & A^T \end{matrix} \right) = 2r(A)

【解】A 项，运用性质r(AOOB)=r(A)+r(B)r \left( \begin{matrix} A & O \\ O & B \end{matrix} \right) = r(A)+r(B)可知，r(AOOATA)=r(A)+r(AT)=2r(A)r \left( \begin{matrix} A & O \\ O & A^TA \end{matrix} \right) = r(A) + r(A^T) = 2r(A)，结论正确。

B 项，由广义初等变换得：(AABOAT)→c2−c1B(AOOAT)\left( \begin{matrix} A & AB \\ O & A^T \end{matrix} \right) \xrightarrow{c_2-c_1B} \left( \begin{matrix} A & O \\ O & A^T \end{matrix} \right)，其变换不改变原矩阵的秩，所以有：r(AABOAT)=r(AOOAT)=2r(A)r \left( \begin{matrix} A & AB \\ O & A^T \end{matrix} \right) = r \left( \begin{matrix} A & O \\ O & A^T \end{matrix} \right) = 2r(A)，结论正确。

D 项，由广义初等变换得：(AOBAAT)→r2−Br1(AOOAT)\left( \begin{matrix} A & O \\ BA & A^T \end{matrix} \right) \xrightarrow{r_2-Br_1} \left( \begin{matrix} A & O \\ O & A^T \end{matrix} \right)，其变换不改变原矩阵的秩，所以有：r(AOBAAT)=r(AOOAT)=2r(A)r \left( \begin{matrix} A & O \\ BA & A^T \end{matrix} \right) = r \left( \begin{matrix} A & O \\ O & A^T \end{matrix} \right) = 2r(A)，结论正确。

由排除法知 C 项结论错误。注意，对于该项，有人通过列变换c2−Bc1c_2-Bc_1得到结论，这是错误的，因为列变换不能左乘矩阵BB，所以是得不到该结论的！

以下几题都是利用性质r(AOOB)=r(A)+r(B)r \left( \begin{matrix} A & O \\ O & B \end{matrix} \right) = r(A)+r(B)和性质r(ACOB)≥r(A)+r(B)r \left( \begin{matrix} A & C \\ O & B \end{matrix} \right) \geq r(A)+r(B)来构建矩阵，然后作广义初等变换得到待证结论。

【例 5】A,B,CA,B,C分别是m×n,n×f,f×gm \times n, n \times f, f \times g矩阵，证明：r(AB)+r(BC)≤r(B)+r(ABC)r(AB)+r(BC) \leq r(B)+r(ABC)。

【证明】由r(B)+r(ABC)r(B)+r(ABC)联想并构造矩阵(ABCOOB)\left( \begin{matrix} ABC & O \\ O & B \end{matrix} \right)，对其作广义初等变换得

(ABCOOB)→r1+Ar2(ABCABOB)→c1−c2C(OAB−BCB)\left( \begin{matrix} ABC & O \\ O & B \end{matrix} \right) \xrightarrow{r_1+Ar_2} \left( \begin{matrix} ABC & AB \\ O & B \end{matrix} \right) \xrightarrow{c_1-c_2C} \left( \begin{matrix} O & AB \\ -BC & B \end{matrix} \right)

其变换并未改变原矩阵的秩，所以有：r(B)+r(ABC)=r(ABCOOB)=r(OAB−BCB)≥r(AB)+r(BC)r(B)+r(ABC) = r \left( \begin{matrix} ABC & O \\ O & B \end{matrix} \right) = r \left( \begin{matrix} O & AB \\ -BC & B \end{matrix} \right) \geq r(AB) + r(BC)，得证。

【例 6】A,CA,C分别是m×n,n×fm \times n, n \times f矩阵，证明：r(A)+r(C)≤n+r(AC)r(A)+r(C) \leq n+r(AC)。

【证明】由n+r(AC)=r(E)+r(AC)n+r(AC) = r(E)+r(AC)联想并构造矩阵(ACOOE)\left( \begin{matrix} AC & O \\ O & E \end{matrix} \right)，对其作广义初等变换得

(ACOOE)→r1+Ar2(ACAOE)→c1−c2C(OA−CE)\left( \begin{matrix} AC & O \\ O & E \end{matrix} \right) \xrightarrow{r_1+Ar_2} \left( \begin{matrix} AC & A \\ O & E \end{matrix} \right) \xrightarrow{c_1-c_2C} \left( \begin{matrix} O & A \\ -C & E \end{matrix} \right)

其变换并未改变原矩阵的秩，所以有：n+r(AC)=r(ACOOE)=r(OA−CE)≥r(A)+r(C)n+r(AC) = r \left( \begin{matrix} AC & O \\ O & E \end{matrix} \right) = r \left( \begin{matrix} O & A \\ -C & E \end{matrix} \right) \geq r(A) + r(C)，得证。

【例 7】A,CA,C是m×nm \times n矩阵，B,DB,D是n×fn \times f矩阵，证明：r(AB−CD)≤r(A−C)+r(B−D)r(AB-CD) \leq r(A-C)+r(B-D)。

【证明】待证结论可化为r[(AB−AD)+(AD−CD)]≤r(A−C)+r(B−D)r[(AB-AD)+(AD-CD)] \leq r(A-C)+r(B-D)，由此联想并构造矩阵(A−COOB−D)\left( \begin{matrix} A-C & O \\ O & B-D \end{matrix} \right)，对其作广义初等变换得

(A−COOB−D)→r1+Ar2(A−CAB−ADOB−D)→c2+c1D(A−CAB−CDOB−D)\begin{aligned} &\left( \begin{matrix} A-C & O \\ O & B-D \end{matrix} \right) \xrightarrow{r_1+Ar_2} \left( \begin{matrix} A-C & AB-AD \\ O & B-D \end{matrix} \right) \\ &\xrightarrow{c_2+c_1D} \left( \begin{matrix} A-C & AB-CD \\ O & B-D \end{matrix} \right) \end{aligned}

其变换并未改变原矩阵的秩，所以有：

r(A−C)+r(B−D)=r(A−COOB−D)=r(A−CAB−CDOB−D)≥r(A−C,AB−CD)≥r(AB−CD)\begin{aligned} r(A-C)+r(B-D) &= r \left( \begin{matrix} A-C & O \\ O & B-D \end{matrix} \right) \\ &= r \left( \begin{matrix} A-C & AB-CD \\ O & B-D \end{matrix} \right) \\ &\geq r(A-C,AB-CD) \\ &\geq r(AB-CD) \end{aligned}

【例 8】A,BA,B是nn阶方阵，EE是nn阶单位阵，证明：r(AB−E)≤r(A−E)+r(B−E)r(AB-E) \leq r(A-E)+r(B-E)。

【证明】由r(A−E)+r(B−E)r(A-E)+r(B-E)联想并构造矩阵(A−EOOB−E)\left( \begin{matrix} A-E & O \\ O & B-E \end{matrix} \right)，对其作广义初等变换得

(A−EOOB−E)→r1+Ar2(A−EAB−AOB−E)→c2+c1(A−EAB−EOB−E)\begin{aligned} &\left( \begin{matrix} A-E & O \\ O & B-E \end{matrix} \right) \xrightarrow{r_1+Ar_2} \left( \begin{matrix} A-E & AB-A \\ O & B-E \end{matrix} \right) \\ &\xrightarrow{c_2+c_1} \left( \begin{matrix} A-E & AB-E \\ O & B-E \end{matrix} \right) \end{aligned}

其变换并未改变原矩阵的秩，所以有：

r(A−E)+r(B−E)=r(A−EOOB−E)=r(A−EAB−EOB−E)≥r(A−E,AB−E)≥r(AB−E)\begin{aligned} r(A-E)+r(B-E) &= r \left( \begin{matrix} A-E & O \\ O & B-E \end{matrix} \right) \\ &= r \left( \begin{matrix} A-E & AB-E \\ O & B-E \end{matrix} \right) \\ &\geq r(A-E,AB-E) \\ &\geq r(AB-E) \end{aligned}

有时，为了使用性质r(AOOB)=r(A)+r(B)r \left( \begin{matrix} A & O \\ O & B \end{matrix} \right) = r(A)+r(B)和性质r(ACOB)≥r(A)+r(B)r \left( \begin{matrix} A & C \\ O & B \end{matrix} \right) \geq r(A)+r(B)，需要将原矩阵(ABCD)\left( \begin{matrix} A & B \\ C & D \end{matrix} \right)通过广义初等变换转化为(A′B′OD′)\left( \begin{matrix} A' & B' \\ O & D' \end{matrix} \right)的形式。

【例 9】A,B,C,DA,B,C,D分别是n×n,f×g,n×g,f×nn \times n,f \times g, n \times g, f \times n的矩阵，证明：若r(ACDB)=nr \left( \begin{matrix} A & C \\ D & B \end{matrix} \right) = n，则B=DA−1CB=DA^{-1}C。

【证明】通过广义初等变换将矩阵的其中一个元素变为OO，因为题中已给出AA可逆，所以可将DD化为OO：

(ACDB)→r2−DA−1r1(ACOB−DA−1C)\left( \begin{matrix} A & C \\ D & B \end{matrix} \right) \xrightarrow{r_2-DA^{-1}r_1} \left( \begin{matrix} A & C \\ O & B-DA^{-1}C \end{matrix} \right)

显然该变换不会改变原有矩阵的秩，因此根据性质r(ACOB)≥r(A)+r(B)r \left( \begin{matrix} A & C \\ O & B \end{matrix} \right) \geq r(A)+r(B)，可以得出：

r(ACDB)=r(ACOB−DA−1C)n≥r(A)+r(B−DA−1C)n≥n+r(B−DA−1C)（A可逆）所以：r(B−DA−1C)=0即：B−DA−1C=O，得证\begin{aligned} r \left( \begin{matrix} A & C \\ D & B \end{matrix} \right) &= r \left( \begin{matrix} A & C \\ O & B-DA^{-1}C \end{matrix} \right) \\ n &\geq r(A) + r(B-DA^{-1}C) \\ n &\geq n + r(B-DA^{-1}C) （A可逆）\\ 所以：&r(B-DA^{-1}C) = 0 \\ 即：& B-DA^{-1}C = O，得证 \end{aligned}

【例 10】A,B,C,DA,B,C,D是nn阶方阵，证明：若r(ABCD)=nr \left( \begin{matrix} A & B \\ C & D \end{matrix} \right) = n，则∣∣A∣∣B∣∣C∣∣D∣∣=0\left| \begin{matrix} |A| & |B| \\ |C| & |D| \end{matrix} \right| = 0。

【证明】本题与上题的思路一致。

（1）设A,B,C,DA,B,C,D均不可逆，则四个行列式均为00，结论显然成立。

（2）设A,B,C,DA,B,C,D至少有一个可逆，不妨假设AA可逆，则由广义初等变换得

(ABCD)→r2−CA−1r1(ABOD−CA−1B)\left( \begin{matrix} A & B \\ C & D \end{matrix} \right) \xrightarrow{r_2-CA^{-1}r_1} \left( \begin{matrix} A & B \\ O & D-CA^{-1}B \end{matrix} \right)

显然该变换不会改变原有矩阵的秩，因此根据性质r(ACOB)≥r(A)+r(B)r \left( \begin{matrix} A & C \\ O & B \end{matrix} \right) \geq r(A)+r(B)，可以得出：

r(ABCD)=r(ABOD−CA−1B)n≥r(A)+r(D−CA−1B)n≥n+r(D−CA−1B)（A可逆）所以：r(D−CA−1B)=0即：D=CA−1B两边取行列式得：∣D∣=∣C∣∣B∣∣A∣，即为本题结论\begin{aligned} r \left( \begin{matrix} A & B \\ C & D \end{matrix} \right) &= r \left( \begin{matrix} A & B \\ O & D-CA^{-1}B \end{matrix} \right) \\ n &\geq r(A) + r(D-CA^{-1}B) \\ n &\geq n + r(D-CA^{-1}B) （A可逆）\\ 所以：&r(D-CA^{-1}B) = 0 \\ 即：& D = CA^{-1}B \\ 两边取行列式得：& |D| = \frac{|C||B|}{|A|}，即为本题结论 \end{aligned}

3. 应用于矩阵的逆

【例 1】求以下矩阵的逆，已知矩阵A,BA,B均可逆：

（1）(AOOB)\left( \begin{matrix} A & O \\ O & B \end{matrix} \right)；（2）(OABO)\left( \begin{matrix} O & A \\ B & O \end{matrix} \right)；（3）(ACOB)\left( \begin{matrix} A & C \\ O & B \end{matrix} \right)；（4）(AOCB)\left( \begin{matrix} A & O \\ C & B \end{matrix} \right)。

【解】求矩阵的逆的通常方法是初等变换法，即：(A∣E)→r(E∣A−1)(A|E) \xrightarrow{r} (E|A^{-1})，现推广到使用广义初等变换求矩阵的逆。

（1）由广义初等变换得

(AOEOOBOE)→A−1r1,B−1r2(EOA−1OOEOB−1)\left( \begin{matrix} \begin{array}{cc | cc} A & O & E & O \\ O & B & O & E \end{array} \end{matrix} \right) \xrightarrow{A^{-1}r_1,B^{-1}r_2} \left( \begin{matrix} \begin{array}{cc | cc} E & O & A^{-1} & O \\ O & E & O & B^{-1} \end{array} \end{matrix} \right)

且该变换不改变原矩阵的秩，所以矩阵的逆为(A−1OOB−1)\left( \begin{matrix} A^{-1} & O \\ O & B^{-1} \end{matrix} \right)。

（2）由广义初等变换得

(OAEOBOOE)→A−1r1,B−1r2(OEA−1OEOOB−1)→r1↔r2(EOOB−1OEA−1O)\begin{aligned} &\left( \begin{matrix} \begin{array}{cc | cc} O & A & E & O \\ B & O & O & E \end{array} \end{matrix} \right) \xrightarrow{A^{-1}r_1,B^{-1}r_2} \left( \begin{matrix} \begin{array}{cc | cc} O & E & A^{-1} & O \\ E & O & O & B^{-1} \end{array} \end{matrix} \right) \\ &\xrightarrow{r_1 \leftrightarrow r_2} \left( \begin{matrix} \begin{array}{cc | cc} E & O & O & B^{-1} \\ O & E & A^{-1} & O \end{array} \end{matrix} \right) \end{aligned}

且该变换不改变原矩阵的秩，所以矩阵的逆为(OB−1A−1O)\left( \begin{matrix} O & B^{-1} \\ A^{-1} & O \end{matrix} \right)。

（3）由广义初等变换得

(ACEOOBOE)→r1−CB−1r2(AOE−CB−1OBOE)→A−1r1,B−1r2(EOA−1−A−1CB−1OEOB−1)\begin{aligned} &\left( \begin{matrix} \begin{array}{cc | cc} A & C & E & O \\ O & B & O & E \end{array} \end{matrix} \right) \xrightarrow{r_1-CB^{-1}r_2} \left( \begin{matrix} \begin{array}{cc | cc} A & O & E & -CB^{-1} \\ O & B & O & E \end{array} \end{matrix} \right) \\ &\xrightarrow{A^{-1}r_1,B^{-1}r_2} \left( \begin{matrix} \begin{array}{cc | cc} E & O & A^{-1} & -A^{-1}CB^{-1} \\ O & E & O & B^{-1} \end{array} \end{matrix} \right) \end{aligned}

且该变换不改变原矩阵的秩，所以矩阵的逆为(A−1−A−1CB−1OB−1)\left( \begin{matrix} A^{-1} & -A^{-1}CB^{-1} \\ O & B^{-1} \end{matrix} \right)。

（4）由广义初等变换得

(AOEOCBOE)→r2−CA−1r1(AOEOOB−CA−1E)→A−1r1,B−1r2(EOA−1OOE−B−1CA−1B−1)\begin{aligned} &\left( \begin{matrix} \begin{array}{cc | cc} A & O & E & O \\ C & B & O & E \end{array} \end{matrix} \right) \xrightarrow{r_2-CA^{-1}r_1} \left( \begin{matrix} \begin{array}{cc | cc} A & O & E & O \\ O & B & -CA^{-1} & E \end{array} \end{matrix} \right) \\ &\xrightarrow{A^{-1}r_1,B^{-1}r_2} \left( \begin{matrix} \begin{array}{cc | cc} E & O & A^{-1} & O \\ O & E & -B^{-1}CA^{-1} & B^{-1} \end{array} \end{matrix} \right) \end{aligned}

且该变换不改变原矩阵的秩，所以矩阵的逆为(A−1O−B−1CA−1B−1)\left( \begin{matrix} A^{-1} & O \\ -B^{-1}CA^{-1} & B^{-1} \end{matrix} \right)。

【例 2】A,BA,B为可逆矩阵，EE为单位阵，M∗M^*为MM的伴随矩阵，则(AEOB)∗=？\left( \begin{matrix} A & E \\ O & B \end{matrix} \right)^* = ？

【解】由公式MM∗=∣M∣EMM^* = |M|E可得M∗=∣M∣M−1M^* = |M|M^{-1}，因此想要求出该矩阵的伴随矩阵，只需求出其逆矩阵即可。由广义初等变换得

(AEEOOBOE)→r1−B−1r2(AOE−B−1OBOE)→A−1r1,B−1r2(EOA−1−A−1B−1OEOB−1)\begin{aligned} &\left( \begin{matrix} \begin{array}{cc | cc} A & E & E & O\\ O & B & O & E \end{array} \end{matrix} \right) \xrightarrow{r_1-B^{-1}r_2} \left( \begin{matrix} \begin{array}{cc | cc} A & O & E & -B^{-1}\\ O & B & O & E \end{array} \end{matrix} \right) \\ &\xrightarrow{A^{-1}r_1,B^{-1}r_2} \left( \begin{matrix} \begin{array}{cc | cc} E & O & A^{-1} & -A^{-1}B^{-1}\\ O & E & O & B^{-1} \end{array} \end{matrix} \right) \end{aligned}

且该变换不改变原矩阵的秩，所以该矩阵的逆为(A−1−A−1B−1OB−1)\left( \begin{matrix} A^{-1} & -A^{-1}B^{-1} \\ O & B^{-1} \end{matrix} \right)。

所以该矩阵的伴随矩阵为(AEOB)∗=∣A∣∣B∣(A−1−A−1B−1OB−1)=(∣B∣⋅∣A∣A−1−∣A∣A−1⋅∣B∣B−1O∣A∣⋅∣B∣B−1)=(∣B∣A∗−A∗B∗O∣A∣B∗)\left( \begin{matrix} A & E \\ O & B \end{matrix} \right)^* = |A||B| \left( \begin{matrix} A^{-1} & -A^{-1}B^{-1} \\ O & B^{-1} \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} |B|\cdot|A|A^{-1} & -|A|A^{-1}\cdot|B|B^{-1} \\ O & |A|\cdot|B|B^{-1} \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} |B|A^* & -A^*B^* \\ O & |A|B^* \end{matrix} \right)。

4. 应用于行列式计算

初等变换、广义消法变换和广义换法变换均不会改变原矩阵的秩，所以行列式的值也不会改变。

【例】A,BA,B为nn阶方阵，证明：∣ABBA∣=∣A+B∣⋅∣A−B∣\left| \begin{matrix} A & B \\ B & A \end{matrix} \right| = |A+B| \cdot |A-B|。

【证明】由广义初等变换得

(ABBA)→r1+r2(A+BA+BBA)→c2−c1(A+BOOA−B)\left( \begin{matrix} A & B \\ B & A \end{matrix} \right) \xrightarrow{r_1+r_2} \left( \begin{matrix} A+B & A+B \\ B & A \end{matrix} \right) \xrightarrow{c_2-c_1} \left( \begin{matrix} A+B & O \\ O & A-B \end{matrix} \right)

显然变换不改变矩阵的秩，所以有：∣ABBA∣=∣A+BOOA−B∣=∣A+B∣⋅∣A−B∣\left| \begin{matrix} A & B \\ B & A \end{matrix} \right| = \left| \begin{matrix} A+B & O \\ O & A-B \end{matrix} \right| = |A+B| \cdot |A-B|。

部分题目来源：夜雨教你考研竞赛