一、线性相关性

1. 定义

（1）线性相关：设 α1,α2,...,αs\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s 是 nn 维向量，若 ∃\exist 不全为 00 的一组数 k1,k2,...,ksk_1,k_2,...,k_s，使得 k1α1+k2α2+...+ksαs=0k_1\alpha_1 + k_2\alpha_2+...+k_s\alpha_s = 0，则称 α1,α2,...,αs\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s 线性相关。

（2）线性无关：设 α1,α2,...,αs\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s 是 nn 维向量，若要使得 k1α1+k2α2+...+ksαs=0k_1\alpha_1 + k_2\alpha_2+...+k_s\alpha_s = 0，当且仅当 k1=k2=...=ks=0k_1 = k_2 =... = k_s = 0，则称 α1,α2,...,αs\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s 线性无关。

（3）有零向量的向量组一定线性相关。

【注】如未特别说明，所有向量均视为列向量。

2. 线性相关性的运算

（1）线性相关 + 线性相关 = 线性相关：α1,α2,...,αs\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s 线性相关，β1,β2,...,βs\beta_1,\beta_2,...,\beta_s 线性相关 ⇒α1+β1,α2+β2,...,αs+βs\Rightarrow \alpha_1+\beta_1,\alpha_2+\beta_2,...,\alpha_s+\beta_s 线性相关

（2）线性相关 + 线性无关 = 线性无关：α1,α2,...,αs\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s 线性相关，β1,β2,...,βs\beta_1,\beta_2,...,\beta_s 线性无关 ⇒α1+β1,α2+β2,...,αs+βs\Rightarrow \alpha_1+\beta_1,\alpha_2+\beta_2,...,\alpha_s+\beta_s 线性无关

（3）线性无关 + 线性无关 = 线性相关性不确定：α1,α2,...,αs\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s 线性无关，β1,β2,...,βs\beta_1,\beta_2,...,\beta_s 线性无关 ⇒α1+β1,α2+β2,...,αs+βs\Rightarrow \alpha_1+\beta_1,\alpha_2+\beta_2,...,\alpha_s+\beta_s 的线性相关性不确定

3. 延长和缩短

（1）原来无关，延长无关：α1,α2,...,αs\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s 是 nn 维线性无关的向量 ⇒\Rightarrow 延长至 m(m>n)m(m>n) 维后仍线性无关

（2）原来相关，缩短相关：α1,α2,...,αs\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s 是 mm 维线性无关的向量 ⇒\Rightarrow 缩短至 n(n<m)n(n<m) 维后仍线性无关

（3）特别地，nn 维向量 α1,α2,...,αs\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s 和 mm 维向量 (α10),(α20),...,(αs0)\left( \begin{matrix} \alpha_1 \\ 0 \end{matrix} \right),\left( \begin{matrix} \alpha_2 \\ 0 \end{matrix} \right),...,\left( \begin{matrix} \alpha_s \\ 0 \end{matrix} \right) 的线性相关性一致。

【注】从齐次线性方程组的角度来看，是 Ax=0Ax=0 中方程个数的增加和减少。

4. 个数和维数

（1）个数 > 维数：s>n⇒s>n \Rightarrow nn 维向量 α1,α2,...,αs\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s 线性相关

（2）个数 = 维数：s=n,∣α1,α2,...,αs∣=0⇒s=n, |\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s|=0 \Rightarrow nn 维向量 α1,α2,...,αs\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s 线性相关

（3）个数 < 维数：s<n,r(α1,α2,...,αs)<s⇒s<n, r(\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s)<s \Rightarrow nn 维向量 α1,α2,...,αs\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s 线性相关

5. 整体和部分

设 nn 维向量 α1,α2,...,αs,...,αt(s<t)\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s,...,\alpha_t(s<t)，则有：

（1）整体无关，部分无关：α1,α2,...,αs,...,αt\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s,...,\alpha_t 线性无关 ⇒α1,α2,...,αs\Rightarrow \alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s 线性无关

（2）部分相关，整体相关：α1,α2,...,αs\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s 线性相关 ⇒α1,α2,...,αs,...,αt\Rightarrow \alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s,...,\alpha_t 线性相关

【注】从齐次线性方程组的角度来看，是 Ax=0Ax=0 中未知数个数的增加和减少。

6. 与线性表示的联系

（1）nn 维向量α1,α2,...,αs\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s 线性无关 ⇒∀αi(1≤i≤s)\Rightarrow \forall \alpha_i(1 \leq i \leq s) 不可由其他向量线性表示

（2）nn 维向量α1,α2,...,αs\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s 线性相关 ⇒∃αi(1≤i≤s)\Rightarrow \exist \alpha_i(1 \leq i \leq s) 可由其他向量线性表示

7. 与秩、方程组、行列式的联系

设矩阵 An×s=(α1,α2,...,αs)A_{n \times s} = (\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s)，则有：

（1）nn 维向量 α1,α2,...,αs\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s 线性无关 ⇔r(α1,α2,...,αs)=s⇔r(A)=s⇔Ax=0\Leftrightarrow r(\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s) = s \Leftrightarrow r(A)=s \Leftrightarrow Ax=0 有且仅有零解 ⇔∣A∣≠0\Leftrightarrow |A| \neq 0（仅当 AA 为方阵）

（2）nn 维向量 α1,α2,...,αs\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s 线性相关 ⇔r(α1,α2,...,αs)<s⇔r(A)<s⇔Ax=0\Leftrightarrow r(\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s) < s \Leftrightarrow r(A)<s \Leftrightarrow Ax=0 有无穷解（非零解） ⇔∣A∣=0\Leftrightarrow |A| = 0（仅当 AA 为方阵）

8. 与矩阵的联系

（1）AB=0AB=0（零向量）

设非零矩阵 Am×n=(a11a12...a1na21a22...a2n...am1am2...amn)A_{m \times n} = \left( \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & ... & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & ... & a_{2n} \\ ... \\ a_{m1} & a_{m2} & ... & a_{mn} \end{matrix} \right) 可由列向量组表示为 (α1,α2,...,αm)(\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_m)。

设非零矩阵 Bn×s=(b11b12...b1sb21b22...b2s...bn1bn2...bns)B_{n \times s} = \left( \begin{matrix} b_{11} & b_{12} & ... & b_{1s} \\ b_{21} & b_{22} & ... & b_{2s} \\ ... \\ b_{n1} & b_{n2} & ... & b_{ns} \end{matrix} \right) 可由行向量组表示为 (β1β2...βs)\left( \begin{matrix} \beta_1 \\ \beta_2 \\ ... \\ \beta_s \end{matrix} \right)。

（1.1）AB=0⇔(α1,α2,...,αm)(b11b12...b1sb21b22...b2s...bn1bn2...bns)=0⇔AB=0 \Leftrightarrow (\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_m) \left( \begin{matrix} b_{11} & b_{12} & ... & b_{1s} \\ b_{21} & b_{22} & ... & b_{2s} \\ ... \\ b_{n1} & b_{n2} & ... & b_{ns} \end{matrix} \right) = 0 \Leftrightarrow 矩阵 AA 的列向量组线性相关 ⇔Ax=0\Leftrightarrow Ax=0 有非零解

（1.2）AB=0⇔(a11a12...a1na21a22...a2n...am1am2...amn)(β1β2...βm)=0⇔AB=0 \Leftrightarrow \left( \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & ... & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & ... & a_{2n} \\ ... \\ a_{m1} & a_{m2} & ... & a_{mn} \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} \beta_1 \\ \beta_2 \\ ... \\ \beta_m \end{matrix} \right) = 0 \Leftrightarrow 矩阵 BB 的行向量组线性相关 ⇔xB=0(BTx=0)\Leftrightarrow xB=0 (B^Tx=0) 有非零解

（2）左乘矩阵

设有m×nm \times n矩阵AA，则有：

（2.1）nn 维向量 α1,α2,...,αs\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s 线性相关 ⇒Aα1,Aα2,...,Aαs\Rightarrow A\alpha_1,A\alpha_2,...,A\alpha_s 线性相关

【证明】α1,α2,...,αs\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s 线性相关 ⇔r(α1,α2,...,αs)<s\Leftrightarrow r(\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s) < s，且 r(AB)≤r(B)r(AB) \leq r(B)，所以有 r(Aα1,Aα2,...,Aαs)≤r(α1,α2,...,αs)<sr(A\alpha_1,A\alpha_2,...,A\alpha_s) \leq r(\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s) < s，说明 Aα1,Aα2,...,AαsA\alpha_1,A\alpha_2,...,A\alpha_s 线性相关。

（2.2）nn 维向量 Aα1,Aα2,...,AαsA\alpha_1,A\alpha_2,...,A\alpha_s 线性无关 ⇒α1,α2,...,αs\Rightarrow \alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s 线性无关

【证明】Aα1,Aα2,...,AαsA\alpha_1,A\alpha_2,...,A\alpha_s 线性无关 ⇔r(Aα1,Aα2,...,Aαs)=s\Leftrightarrow r(A\alpha_1,A\alpha_2,...,A\alpha_s) = s，且 r(AB)≤r(B)r(AB) \leq r(B)，所以有 s=r(Aα1,Aα2,...,Aαs)≤r(α1,α2,...,αs)s = r(A\alpha_1,A\alpha_2,...,A\alpha_s) \leq r(\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s)；又 r(α1,α2,...,αs)≤sr(\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s) \leq s，所以 r(α1,α2,...,αs)=sr(\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s) = s，说明 α1,α2,...,αs\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s 线性无关。

二、线性表示

1. 定义

（1）线性表示：设 α1,α2,...,αs\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s 是 nn 维向量，若 ∃\exist 一组数k1,k2,...,ksk_1,k_2,...,k_s，使得 β=k1α1+k2α2+...+ksαs\beta = k_1\alpha_1 + k_2\alpha_2+...+k_s\alpha_s，则称 β\beta 可由 α1,α2,...,αs\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s 线性表示。

（2）极大线性无关组：设 nn 维向量组 α1,α2,...,αs\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s 中有 rr 个向量线性无关，任意 r+1r+1 个向量（如果有）线性相关，则称 rr 个线性无关的向量为该向量组的一个极大线性无关组，且 r(α1,α2,...,αs)=rr(\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s)=r。

（3）向量组等价：设 nn 维向量组 (I)α1,α2,...,αs(I)\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s 和 (II)β1,β2,...,βt(II)\beta_1,\beta_2,...,\beta_t，若向量组 (I)(I) 可由 (II)(II) 线性表示，向量组 (II)(II) 也可由 (I)(I) 线性表示，则称 (I)(I) 和 (II)(II) 等价。

2. 线性表示的运算

设 nn 维向量组 α1,α2,...,αs\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s，且 β,γ\beta,\gamma 也是 nn 维向量，则有：

（1）线性 + 线性 = 线性：β,γ\beta,\gamma 可用 α1,α2,...,αs\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s 线性表示 ⇒\Rightarrow β±γ\beta±\gamma 可用 α1,α2,...,αs\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s 线性表示

（2）非线性 + 非线性 = 不确定：β,γ\beta,\gamma 都可用 α1,α2,...,αs\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s 线性表示 ⇒\Rightarrow β±γ\beta±\gamma 不一定能用 α1,α2,...,αs\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s 线性表示

（3）线性 + 非线性 = 非线性：β\beta 可用 α1,α2,...,αs\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s 线性表示，γ\gamma 不可用 α1,α2,...,αs\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s 线性表示 ⇒\Rightarrow β±γ\beta±\gamma 不可用 α1,α2,...,αs\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s 线性表示

3. 整体和部分

设 nn 维向量 α1,α2,...,αs,...,αt(s<t)\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s,...,\alpha_t(s<t)，则有：

（1）β\beta 可由 α1,α2,...,αs\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s 线性表示 ⇒β\Rightarrow \beta 可由 α1,α2,...,αs,...,αt\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s,...,\alpha_t 线性表示

（2）β\beta 不可由 α1,α2,...,αs,...,αt\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s,...,\alpha_t 线性表示 ⇒β\Rightarrow \beta 不可由 α1,α2,...,αs\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s 线性表示

4. 传递性

（1）线性表示的传递性

（1.1）设 nn 维向量组 (I)α1,α2,...,αs(I)\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s 可由 (II)β1,β2,...,βt(II)\beta_1,\beta_2,...,\beta_t 线性表示，则：γ\gamma 可由 (I)(I) 线性表示 ⇒γ\Rightarrow \gamma 可由 (II)(II) 线性表示

（1.2）β\beta 可由 α1,α2,...,αs\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s 线性表示 ⇔β\Leftrightarrow \beta 可由 α1,α2,...,αs\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s 的极大无关组线性表示 ⇔α1,α2,...,αs\Leftrightarrow \alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s 与 α1,α2,...,αs,β\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s,\beta 等价

（1.3）β\beta 可由 α1,α2,...,αs\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s 线性表示，α\alpha 可由 α1,α2,...,αs−1\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_{s-1} 线性表示 ⇒β\Rightarrow \beta 可由 α1,α2,...,αs−1\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_{s-1} 线性表示

（2）向量组等价的传递性

若向量组 (I)α1,α2,...,αs(I)\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s 和 (II)β1,β2,...,βt(II)\beta_1,\beta_2,...,\beta_t 等价，则有：

（2.1）γ\gamma 可由 (I)(I) 线性表示 ⇔γ\Leftrightarrow \gamma 可由 (II)(II) 线性表示

（2.2）γ\gamma 不可由 (I)(I) 线性表示 ⇔γ\Leftrightarrow \gamma 不可由 (II)(II) 线性表示

5. 与秩、方程组的联系

（1）一个向量可由其他向量组线性表示？

（1.1）r(α1,α2,...,αs)≤r(α1,α2,...,αs,β)≤r(α1,α2,...,αs)+1r(\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s) \leq r(\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s,\beta) \leq r(\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s)+1

（1.2）β\beta 可由 α1,α2,...,αs\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s 线性表示 ⇔r(α1,α2,...,αs,β)=r(α1,α2,...,αs)≤s\Leftrightarrow r(\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s,\beta) = r(\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s) \leq s

从非齐次线性方程组的角度来看，是 Ax=bAx=b 有解 ⇔r(A)=r(A,b)≤n\Leftrightarrow r(A) = r(A,b) \leq n。

（1.3）β\beta 可由 α1,α2,...,αs\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s 唯一线性表示 ⇔r(α1,α2,...,αs,β)=r(α1,α2,...,αs)=s\Leftrightarrow r(\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s,\beta) = r(\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s) = s

从非齐次线性方程组的角度来看，是 Ax=bAx=b 有唯一解 ⇔r(A)=r(A,b)=n\Leftrightarrow r(A) = r(A,b) = n。

【注】上述结论又可写为：β\beta 可由 α1,α2,...,αs\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s 线性表示，则：表示方法唯一 ⇔α1,α2,...,αs\Leftrightarrow \alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s 线性无关

（1.4）β\beta 不可由 α1,α2,...,αs\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s 线性表示 ⇔r(α1,α2,...,αs,β)=r(α1,α2,...,αs)+1\Leftrightarrow r(\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s,\beta) = r(\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s) + 1

从非齐次线性方程组的角度来看，是 Ax=bAx=b 无解 ⇔r(A)≠r(A,b)\Leftrightarrow r(A) \neq r(A,b)。

【注】β\beta 不可由 α1,α2,...,αs\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s 线性表示，则：

  • 原来无关，加入后无关：α1,α2,...,αs\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s 线性无关 ⇔α1,α2,...,αs,β\Leftrightarrow \alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s,\beta 线性无关
  • 原来相关，加入后相关：α1,α2,...,αs\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s 线性相关 ⇔α1,α2,...,αs,β\Leftrightarrow \alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s,\beta 线性相关

（2）一个向量组可由其他向量组线性表示？【结论（1）的推广】

（2.1）r(α1,α2,...,αs)≤r(α1,α2,...,αs,β1,β2,...,βt)≤r(α1,α2,...,αs)+tr(\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s) \leq r(\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s,\beta_1,\beta_2,...,\beta_t) \leq r(\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s)+t

（2.2）β1,β2,...,βt\beta_1,\beta_2,...,\beta_t 可由 α1,α2,...,αs\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s 线性表示 ⇔r(α1,α2,...,αs,β1,β2,...,βt)=r(α1,α2,...,αs)≤s\Leftrightarrow r(\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s,\beta_1,\beta_2,...,\beta_t) = r(\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s) \leq s

从非齐次线性方程组的角度来看，是 Ax=BAx=B 有无穷多解 ⇔r(A)=r(A,B)<n\Leftrightarrow r(A) = r(A,B) < n。

【注】β1,β2,...,βt\beta_1,\beta_2,...,\beta_t 可由 α1,α2,...,αs\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s 线性表示 ⇒r(β1,β2,...,βt)≤r(α1,α2,...,αs)\Rightarrow r(\beta_1,\beta_2,...,\beta_t) \leq r(\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s)，但逆命题不成立。

（2.3）β1,β2,...,βt\beta_1,\beta_2,...,\beta_t 可由 α1,α2,...,αs\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s 唯一线性表示 ⇔r(α1,α2,...,αs,β1,β2,...,βt)=r(α1,α2,...,αs)=s\Leftrightarrow r(\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s,\beta_1,\beta_2,...,\beta_t) = r(\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s) = s

从非齐次线性方程组的角度来看，是 Ax=BAx=B 有唯一解 ⇔r(A)=r(A,B)=n\Leftrightarrow r(A) = r(A,B) = n。

（2.4）β1,β2,...,βt\beta_1,\beta_2,...,\beta_t 不可由 α1,α2,...,αs\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s 线性表示 ⇔r(α1,α2,...,αs,β1,β2,...,βt)=r(α1,α2,...,αs)+t\Leftrightarrow r(\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s,\beta_1,\beta_2,...,\beta_t) = r(\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s) + t

从非齐次线性方程组的角度来看，是 Ax=BAx=B 无解 ⇔r(A)≠r(A,B)\Leftrightarrow r(A) \neq r(A,B)。

【注】β1,β2,...,βt\beta_1,\beta_2,...,\beta_t 不可由 α1,α2,...,αs\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s 线性表示，则：

  • 原来无关，加入后无关：α1,α2,...,αs\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s 线性无关 ⇔α1,α2,...,αs,β1,β2,...,βt\Leftrightarrow \alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s,\beta_1,\beta_2,...,\beta_t 线性无关
  • 原来相关，加入后相关：α1,α2,...,αs\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s 线性相关 ⇔α1,α2,...,αs,β1,β2,...,βt\Leftrightarrow \alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s,\beta_1,\beta_2,...,\beta_t 线性相关

（2.5）以少表多，多的相关：若 β1,β2,...,βt\beta_1,\beta_2,...,\beta_t 可由 α1,α2,...,αs\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s 线性表示，则有：

  • （2.5.1）s<t⇒β1,β2,...,βts<t \Rightarrow \beta_1,\beta_2,...,\beta_t 线性相关
  • （2.5.2）β1,β2,...,βt\beta_1,\beta_2,...,\beta_t 线性无关 ⇒s≥t\Rightarrow s \geq t

【证明】结论（2.5.1）和结论（2.5.2）互为逆否命题，只需证明结论（2.5.1）即可：

β1,β2,...,βt\beta_1,\beta_2,...,\beta_t 可由 α1,α2,...,αs\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s 线性表示

⇒r(β1,β2,...,βt)≤r(α1,α2,...,αs)≤s<t\Rightarrow r(\beta_1,\beta_2,...,\beta_t) \leq r(\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s) \leq s < t

⇒β1,β2,...,βt\Rightarrow\beta_1,\beta_2,...,\beta_t 线性相关

（3）向量组等价【结论（2）的推广】

设 (I)α1,α2,...,αs(I)\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s 和 (II)β1,β2,...,βt(II)\beta_1,\beta_2,...,\beta_t，则有：

（3.1）(I)(I) 和 (II)(II) 等价 ⇔(I)\Leftrightarrow (I) 可由 (II)(II) 线性表示，(II)(II) 也可由 (I)(I) 线性表示 ⇔r(I)=r(I,II)=r(II)\Leftrightarrow r(I) = r(I,II) = r(II)

（3.2）r(I)=r(II)⇏r(I) = r(II) \nRightarrow (I)(I) 和 (II)(II) 等价

从齐次线性方程组的角度来看，是 Ax=0Ax=0 和 Bx=0Bx=0 同解 ⇔r(A)=r(B)=r(AB)\Leftrightarrow r(A) = r(B) =r \left(\begin{matrix} A \\ B \end{matrix} \right)。

6. 与线性相关性的联系

β\beta 可由 α1,α2,...,αs\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s 唯一表示 ⇔α1,α2,...,αs\Leftrightarrow \alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s 线性无关，α1,α2,...,αs,β\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s,\beta 线性相关

7. 与矩阵的联系（AB=CAB=C）

设非零矩阵 Am×n=(a11a12...a1na21a22...a2n...am1am2...amn)A_{m \times n} = \left( \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & ... & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & ... & a_{2n} \\ ... \\ a_{m1} & a_{m2} & ... & a_{mn} \end{matrix} \right) 可由列向量组表示为 (α1,α2,...,αm)(\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_m)。

设非零矩阵 Bn×s=(b11b12...b1sb21b22...b2s...bn1bn2...bns)B_{n \times s} = \left( \begin{matrix} b_{11} & b_{12} & ... & b_{1s} \\ b_{21} & b_{22} & ... & b_{2s} \\ ... \\ b_{n1} & b_{n2} & ... & b_{ns} \end{matrix} \right) 可由行向量组表示为 (β1β2...βs)\left( \begin{matrix} \beta_1 \\ \beta_2 \\ ... \\ \beta_s \end{matrix} \right)。

设非零矩阵 Cm×sC_{m \times s} 可由列向量组表示为 (γ1,γ2,...,γs)(\gamma_1,\gamma_2,...,\gamma_s)，也可由行向量组表示为 (δ1δ2...δm)\left( \begin{matrix} \delta_1 \\ \delta_2 \\ ... \\ \delta_m \end{matrix} \right)。

（1）AB=C⇔(α1,α2,...,αm)(b11b12...b1sb21b22...b2s...bn1bn2...bns)=(γ1,γ2,...,γs)⇔AB=C \Leftrightarrow (\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_m) \left( \begin{matrix} b_{11} & b_{12} & ... & b_{1s} \\ b_{21} & b_{22} & ... & b_{2s} \\ ... \\ b_{n1} & b_{n2} & ... & b_{ns} \end{matrix} \right) = (\gamma_1,\gamma_2,...,\gamma_s) \Leftrightarrow 矩阵 CC 的列向量组可用矩阵 AA 的列向量组线性表示 ⇔r(A)=r(A,C)⇔Ax=C\Leftrightarrow r(A)=r(A,C) \Leftrightarrow Ax=C 有解

若加上前提条件：矩阵 BB 可逆，则有：A=CB−1⇒A=CB^{-1} \Rightarrow 矩阵 AA 的列向量组也可用矩阵 CC 的列向量组线性表示 ⇒\Rightarrow （结合上述结论可得）矩阵 AA 的列向量组与矩阵 CC 的列向量组等价 ⇔r(A)=r(C)=r(A,C)⇔r(AT)=r(CT)=r(ATCT)\Leftrightarrow r(A)=r(C)=r(A,C) \Leftrightarrow r(A^T)=r(C^T)=r \left(\begin{matrix} A^T \\ C^T \end{matrix} \right)

（2）AB=C⇔(a11a12...a1na21a22...a2n...am1am2...amn)(β1β2...βs)=(δ1δ2...δm)⇔AB=C \Leftrightarrow \left( \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & ... & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & ... & a_{2n} \\ ... \\ a_{m1} & a_{m2} & ... & a_{mn} \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} \beta_1 \\ \beta_2 \\ ... \\ \beta_s \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} \delta_1 \\ \delta_2 \\ ... \\ \delta_m \end{matrix} \right) \Leftrightarrow 矩阵 CC 的行向量组可用矩阵 BB 的行向量组线性表示 ⇔r(B)=r(BC)⇔xB=C(BTx=CT)\Leftrightarrow r(B)=r\left(\begin{matrix} B \\ C \end{matrix} \right) \Leftrightarrow xB=C (B^Tx=C^T) 有解

若加上前提条件：矩阵 AA 可逆，则有：B=CA−1⇒B=CA^{-1} \Rightarrow 矩阵 BB 的行向量组也可用矩阵 CC 的行向量组线性表示 ⇒\Rightarrow （结合上述结论可得）矩阵 CC 的行向量组与矩阵 BB 的行向量组等价 ⇔r(B)=r(C)=r(BC)⇔r(BT)=r(CT)=r(BT,CT)\Leftrightarrow r(B)=r(C)=r\left(\begin{matrix} B \\ C \end{matrix} \right) \Leftrightarrow r(B^T)=r(C^T)=r(B^T,C^T)

三、矩阵的秩

1. 秩的定义

（1）秩：r(A)=r(A)= 非 00 子式（行列式）的阶数的最大值

（2）r(A)=r(A)= 行向量组的秩 == 列向量组的秩

（3）设矩阵 Am×nA_{m \times n}，则有：

  • 0≤r(A)≤min(m,n)0 \leq r(A) \leq min(m,n)
  • r(A)=m⇔Ar(A)=m \Leftrightarrow A 行满秩 ⇔\Leftrightarrow AA 的行向量组线性无关
  • r(A)=n⇔Ar(A)=n \Leftrightarrow A 列满秩 ⇔\Leftrightarrow AA 的列向量组线性无关

（4）设矩阵 An×nA_{n \times n}，则有：

  • AA 满秩 ⇔\Leftrightarrow AA 行满秩且列满秩
  • AA 满秩 ⇔\Leftrightarrow r(A)=nr(A)=n ⇔\Leftrightarrow AA 的行向量组和列向量组均线性无关 ⇔\Leftrightarrow ∣A∣≠0|A| \neq 0 ⇔\Leftrightarrow AA 可逆

（5）矩阵等价：矩阵 AA 和 BB 可通过初等变换互相转化，称 AA 和 BB 等价。

  • AA 和 BB 等价 ⇔\Leftrightarrow AA 和 BB 的行列对应相等，r(A)=r(B)r(A)=r(B)

2. 秩的性质

（1）关于转置矩阵的性质：

  • r(ATA)=r(AAT)=r(AT)=r(A)r(A^TA)=r(AA^T)=r(A^T)=r(A)
  • r(A,B)=(ATBT)r(A,B)=\left(\begin{matrix} A^T \\ B^T \end{matrix} \right)

（2）r(cA)=r(A)(c≠0)r(cA)=r(A) (c \neq 0)

（3）∣r(A)−r(B)∣≤r(A±B)≤r(A)+r(B)|r(A)-r(B)| \leq r(A±B) \leq r(A)+r(B)

（4）关于拼接矩阵 (A,B)(A,B) 和 (AB)\left(\begin{matrix} A \\ B \end{matrix} \right) 的性质：

  • r(A,B)≥r(A,O)=r(A)r(A,B) \geq r(A,O) = r(A)，r(A,B)≥r(O,B)=r(B)r(A,B) \geq r(O,B) = r(B)
  • r(A±B)≤r(A,B)≤r(A)+r(B)r(A±B) \leq r(A,B) \leq r(A)+r(B)
  • r(A,AB)=r(A)=r(ABA)r(A,AB)=r(A)=r \left(\begin{matrix} A \\ BA \end{matrix} \right)

【注】r(A,BA)≠r(A)r(A,BA) \neq r(A)，这是因为 (A,BA)=(E,B)A(A,BA) = (E,B)A 中，(E,B)(E,B) 的列数和 AA 的行数不相等，矩阵乘法无意义。

  • r(AB)≥r(AO)=r(A)r \left(\begin{matrix} A \\ B \end{matrix} \right) \geq r \left(\begin{matrix} A \\ O \end{matrix} \right) =r(A)，r(AB)≥r(OB)=r(B)r \left(\begin{matrix} A \\ B \end{matrix} \right) \geq r \left(\begin{matrix} O \\ B \end{matrix} \right) =r(B)
  • r(A±B)≤r(AB)≤r(A)+r(B)r(A±B) \leq r \left(\begin{matrix} A \\ B \end{matrix} \right) \leq r(A)+r(B)
  • r(AOOB)=r(A)+r(B)r \left(\begin{matrix} A & O \\ O & B \end{matrix} \right) = r(A)+r(B)
  • r(ACOB)≥r(AOOB)=r(A)+r(B)r \left(\begin{matrix} A & C \\ O & B \end{matrix} \right) \geq r \left(\begin{matrix} A & O \\ O & B \end{matrix} \right) = r(A)+r(B)

【注】有些资料使用 (A∣B)(A|B) 的形式表示拼接矩阵。

（5）关于矩阵乘积 ABAB 的性质：

  • r(AB)≤r(A),r(AB)≤r(B)r(AB) \leq r(A),r(AB) \leq r(B)
  • AA 列满秩 ⇒r(AB)=r(B)\Rightarrow r(AB)=r(B)（左乘列满秩矩阵，秩不变）
  • BB 行满秩 ⇒r(AB)=r(A)\Rightarrow r(AB)=r(A)（右乘行满秩矩阵，秩不变）
  • Am×nBn×s=O⇒r(A)+r(B)≤nA_{m \times n}B_{n \times s}=O \Rightarrow r(A)+r(B) \leq n
  • Am×nBn×s=O,r(A)=n⇒B=OA_{m \times n}B_{n \times s}=O,r(A)=n \Rightarrow B=O

（6）关于伴随矩阵 A∗A^* 的性质：

r(A∗)={n,r(A)=n1,r(A)=n−10,r(A)<n−1r(A^*)= \begin{cases} n, & r(A) = n\\ 1, & r(A) = n-1 \\ 0, & r(A) < n-1 \end{cases}

3. 秩与方程组

（1）齐次线性方程组

（1.1）齐次线性方程组 Am×nx=0A_{m \times n}x=0，表示有 mm 个方程，nn 个未知数，其解的判定为：

Ax=0{无穷多解,r(A)<n（有效方程个数<未知数个数）仅有0解,r(A)=n（有效方程个数=未知数个数）Ax=0 \begin{cases} 无穷多解, & r(A)<n（有效方程个数<未知数个数） \\ 仅有0解, & r(A)=n（有效方程个数=未知数个数） \end{cases}

（1.2）解的性质：

  • Ax=0Ax=0 恰有 ss 个线性无关的解 ⇔Ax=0\Leftrightarrow Ax=0 的基础解系解向量个数为 s=n−r(A)s=n-r(A)
  • Ax=0Ax=0 有 ss 个线性无关的解 ⇔Ax=0\Leftrightarrow Ax=0 的基础解系解向量个数大于等于 s⇔n−r(A)≥ss \Leftrightarrow n-r(A) \geq s
  • 若 η1,η2,...,ηs\eta_1,\eta_2,...,\eta_s 是 Ax=0Ax=0 的基础解系，则通解为 k1η1+k2η2+...+ksηsk_1\eta_1 + k_2\eta_2+...+k_s\eta_s

（1.3）判断 η1,η2,...,ηs\eta_1,\eta_2,...,\eta_s 是 Ax=0Ax=0 的基础解系的步骤：

  • η1,η2,...,ηs\eta_1,\eta_2,...,\eta_s 是 Ax=0Ax=0 的一组解
  • η1,η2,...,ηs\eta_1,\eta_2,...,\eta_s 线性无关
  • 解向量个数需满足 s=n−r(A)s=n-r(A)

（2）非齐次线性方程组

（2.1）非齐次线性方程组 Am×nx=bA_{m \times n}x=b，表示有 mm 个方程组，nn 个未知数，，其解的判定为：

Ax=b{无解,r(A)<r(A,b)有解{无穷多解,r(A)=r(A,b)<n唯一解,r(A)=r(A,b)=nAx=b \begin{cases} 无解, r(A)<r(A,b) \\ 有解 \begin{cases} 无穷多解, & r(A)=r(A,b)<n \\ 唯一解, & r(A)=r(A,b)=n \end{cases} \end{cases}

（2.2）另外，对于方程个数 mm，有：

  • r(A)≤mr(A) \leq m，r(A,b)≤mr(A,b) \leq m
  • r(A)=m⇒Ax=br(A)=m \Rightarrow Ax=b 一定有解

【证明】r(A)=m⇔Ar(A)=m \Leftrightarrow A 行满秩（行向量组线性无关） ⇒\Rightarrow 由“原来无关，延长无关”知 (A,b)(A,b) 行满秩（行向量组线性无关）⇔r(A,b)=m⇔Ax=b\Leftrightarrow r(A,b)=m \Leftrightarrow Ax=b 有解

  • m<n⇒Ax=bm < n \Rightarrow Ax=b 一定不是唯一解

（2.3）解的性质：

  • Ax=bAx=b 有两个不同解 ⇔Ax=b\Leftrightarrow Ax=b 有无穷解 ⇔r(A)<n\Leftrightarrow r(A)<n
  • Ax=bAx=b 恰有 ss 个线性无关的解 ⇔Ax=0\Leftrightarrow Ax=0 恰有 s−1s-1 个线性无关的解 ⇔Ax=0\Leftrightarrow Ax=0 的基础解系解向量个数为 s−1s-1 ⇔Ax=b\Leftrightarrow Ax=b 的解向量个数为 n−r(A)+1n-r(A)+1
  • 若 η1,η2,...,ηs\eta_1,\eta_2,...,\eta_s 是其导出组 Ax=0Ax=0 的基础解系，ξ\xi 是 Ax=bAx=b 的一个特解，则通解为 k1η1+k2η2+...+ksηs+ξk_1\eta_1 + k_2\eta_2+...+k_s\eta_s+\xi

（3）公共解

（3.1）Ax=0Ax=0 和 Bx=0Bx=0 有公共解 ⇔\Leftrightarrow 求 (AB)x=0\left(\begin{matrix} A \\ B \end{matrix} \right) x=0 的解

（3.2）Ax=bAx=b 和 Bx=dBx=d 有公共解 ⇔\Leftrightarrow 求 (AB)x=(bd)\left(\begin{matrix} A \\ B \end{matrix} \right) x = \left(\begin{matrix} b \\ d \end{matrix} \right) 的解

（3.3）Ax=0Ax=0 都是 Bx=0Bx=0 的解 ⇔r(A)=r(AB)≥r(B)\Leftrightarrow r(A) = r\left(\begin{matrix} A \\ B \end{matrix} \right) \geq r(B)

（4）同解

（4.1）Ax=0Ax=0 和 Bx=0Bx=0 同解 ⇔Ax=0\Leftrightarrow Ax=0 和 Bx=0Bx=0 和 (AB)x=0\left(\begin{matrix} A \\ B \end{matrix} \right) x=0 同解 ⇔r(A)=r(B)=r(AB)⇔\Leftrightarrow r(A)=r(B)=r \left(\begin{matrix} A \\ B \end{matrix} \right) \Leftrightarrow AA 和 BB 行等价

【注】Ax=0Ax=0 和 Bx=0Bx=0 同解 ⇒r(A)=r(B)\Rightarrow r(A)=r(B)；但 r(A)=r(B)⇏r(A)=r(B) \nRightarrow Ax=0Ax=0 和 Bx=0Bx=0 同解

【证明】Ax=0Ax=0 和 Bx=0Bx=0 同解 ⇒\Rightarrow 基础解系解向量个数相等，即 n−r(A)=n−r(B)⇒r(A)=r(B)n-r(A)=n-r(B) \Rightarrow r(A)=r(B)

（4.2）Ax=cAx=c 和 Bx=dBx=d 同解 ⇔Ax=c\Leftrightarrow Ax=c 和 Bx=dBx=d 和 (AB)x=(cd)\left(\begin{matrix} A \\ B \end{matrix} \right) x=\left(\begin{matrix} c \\ d \end{matrix} \right) 同解 ⇔r(A,c)=r(B,d)=r(AcBd)⇔\Leftrightarrow r(A,c)=r(B,d)=r \left(\begin{matrix} A & c \\ B & d \end{matrix} \right) \Leftrightarrow (A,c)(A,c) 和 (B,d)(B,d) 行等价

（4.3）Ax=0Ax=0 都是 Bx=0Bx=0 的解，且 r(A)=r(B)⇒r(A)=r(B) \Rightarrow Ax=0Ax=0 和 Bx=0Bx=0 同解

（4.4）Ax=cAx=c 都是 Bx=dBx=d 的解，且 r(A)=r(B)⇒r(A)=r(B) \Rightarrow Ax=bAx=b 和 Bx=dBx=d 同解