一道关于幂次方矩阵题目的精彩解法

这道题源自23版李林880的矩阵章节，题目如下：

设矩阵 $A=\left[ \begin{matrix} 1 & -1 & -1 & -1 \\ -1 & 1 & -1 & -1 \\ -1 & -1 & 1 & -1 \\ -1 & -1 & -1 & 1 \end{matrix} \right]$，则 $A^n(n \geq 1)=?$

个人解法如下：

先将矩阵 $A$ 拆分成一个秩为 1 的矩阵和数量矩阵之和，即：

$$A = \left[ \begin{matrix} -1 & -1 & -1 & -1 \\ -1 & -1 & -1 & -1 \\ -1 & -1 & -1 & -1 \\ -1 & -1 & -1 & -1 \end{matrix} \right] + 2 \left[ \begin{matrix} 1 & & & \\ & 1 & & \\ & & 1 & \\ & & & 1 \end{matrix} \right] = B + 2E$$

秩为 1 的矩阵 $B$ 有性质：$B^k = [tr(B)]^{k-1} B = (-4)^{k-1} B$，需要特别注意 $k \geq 1$

因此有：

$$\begin{aligned} A^n &= (B+2E)^n \\ &= \sum_{k=0}^{n} C_{n}^{k} (2E)^{n-k} B^{k} \\ （将k=0的项提出去）&= C_{n}^{0} (2E)^{n} B^{0} + \sum_{k=1}^{n} C_{n}^{k} (2E)^{n-k} B^{k} \\ （运用秩一矩阵的性质）&= 2^{n}E + \sum_{k=1}^{n} C_{n}^{k} 2^{n-k} (-4)^{k-1} B \\ &= 2^{n}E - \frac{1}{4} B \left[ \sum_{k=1}^{n} C_{n}^{k} 2^{n-k} (-4)^{k} \right] \\ （凑二项式展开公式）&= 2^{n}E - \frac{1}{4} B \left[ \sum_{k=0}^{n} C_{n}^{k} 2^{n-k} (-4)^{k} - C_{n}^{0} 2^{n} (-4)^{0} \right] \\ （逆用二项式展开公式）&= 2^{n}E - \frac{1}{4} B \left[ (2-4)^{n} - 2^{n} \right] \\ &= 2^{n}E - \frac{1}{4} B \left[ (-2)^{n} - 2^{n} \right] \\ &= 2^{n}E + \frac{2^{n} - (-2)^{n}}{4} B \\ \end{aligned}$$

李林880给出的解法是找规律，参考答案为：

$$A^n= \begin{cases} 4^{k-1} A, & n=2k-1 \\ 4^{k} E, & n=2k \\ \end{cases} (k=1,2,...)$$

可以证明，个人答案与参考答案是一致的。

（1）当 $n$ 是奇数，则：

$$\begin{aligned} A^n &= 2^{n}E + \frac{2^{n} - (-2)^{n}}{4} B \\ &= 2^{n}E + \frac{2^{n} + 2^{n}}{4} B \\ &= 2^{n}E + 2^{n-1} B \\ &= 2^{n-1} (2E+B) \\ &= 2^{n-1} A \\ （令n=2k-1）&= 2^{2(k-1)} A \\ &= 4^{k-1} A \\ \end{aligned}$$

（2）当 $n$ 是偶数，则：

$$\begin{aligned} A^n &= 2^{n}E + \frac{2^{n} - (-2)^{n}}{4} B \\ &= 2^{n}E + \frac{2^{n} - 2^{n}}{4} B \\ &= 2^{n}E \\ （令n=2k）&= 2^{2k} E \\ &= 4^{k} E \\ \end{aligned}$$