一道关于幂次方矩阵题目的精彩解法
这道题源自23版李林880的矩阵章节，题目如下： 设矩阵 A=[1−1−1−1−11−1−1−1−11−1−1−1−11]A=\left[ \begin{matrix} 1 & -1 & -1 & -1 \\ -1 & 1 & -1 & -1 \\ -1 & -1 & 1 & -1 \\ -1 & -1 & -1 & 1 \end{matrix} \right]A=1−1−1−1−11−1−1−1−11−1−1−1−11，则 An(n≥1)=?A^n(n \geq 1)=?An(n≥1)=? 个人解法如下： 先将矩阵 AAA 拆分成一个秩为 1 的矩阵和数量矩阵之和，即： A=[−1−1−1−1−1−1−1−1−1−1−1−1−1−1−1−1]+2[1111]=B+2EA = \left[ \begin{matrix} -1 & -1 & -1 & -1 \\ -1 & -1 & -1 & -1 \\ -1 & -1 ...
施密特正交化
公式 {β1=α1β2=α2−(α2,β1)(β1,β1)β1β3=α3−(α3,β1)(β1,β1)β1−(α3,β2)(β2,β2)β2\left\{ \begin{aligned} &\beta_1 = \alpha_1 \\ &\beta_2 = \alpha_2 - \frac{(\alpha_2, \beta_1)}{(\beta_1,\beta_1)} \beta_1 \\ &\beta_3 = \alpha_3 - \frac{(\alpha_3, \beta_1)}{(\beta_1,\beta_1)} \beta_1 - \frac{(\alpha_3, \beta_2)}{(\beta_2,\beta_2)} \beta_2 \\ \end{aligned} \right. ⎩⎨⎧β1=α1β2=α2−(β1,β1)(α2,β1)β1β3=α3−(β1,β1)(α3,β1)β1−(β2,β2)(α3,β2)β2 推导 令 {β1=α1β2=α2+kβ1β3=α3+m1β1+m2β2...
线性相关性、线性表示、秩
一、线性相关性 1. 定义 （1）线性相关：设 α1,α2,...,αs\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_sα1,α2,...,αs 是 nnn 维向量，若 ∃\exist∃ 不全为 000 的一组数 k1,k2,...,ksk_1,k_2,...,k_sk1,k2,...,ks，使得 k1α1+k2α2+...+ksαs=0k_1\alpha_1 + k_2\alpha_2+...+k_s\alpha_s = 0k1α1+k2α2+...+ksαs=0，则称 α1,α2,...,αs\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_sα1,α2,...,αs 线性相关。 （2）线性无关：设 α1,α2,...,αs\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_sα1,α2,...,αs 是 nnn 维向量，若要使得 k1α1+k2α2+...+ksαs=0k_1\alpha_1 + k_2\alpha_2+...+k_s\alpha_s = 0k1α1+k2α2+...+ksαs=0，当...
初等变换和广义初等变换
一、初等变换 1. 互换变换 第iii行和第jjj行互换：EijE_{ij}Eij 第iii列和第jjj列互换：EijE_{ij}Eij 【例】第111行和第222行互换，或第111列和第222列互换：E12=[010100001]E_{12}=\left[ \begin{matrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{matrix} \right]E12=010100001 【推导】不凭记忆，如何求出互换变换矩阵？ （1）行互换：设矩阵A=[α1α2α3]A = \left[ \begin{matrix} \alpha_1 \\ \alpha_2 \\ \alpha_3\end{matrix} \right]A=α1α2α3，其中α1,α2,α3\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3α1,α2,α3为行向量，则第111行和第222行互换后得到B=[α2α1α3]=[010100001][α1α2α3]=[010100001]AB ...
留数法分解有理真分式
一、真分式和假分式 设Pn(x)P_n(x)Pn(x)和Qm(x)Q_m(x)Qm(x)表示nnn次和mmm次的多项式函数，则 {Pn(x)Qm(x)为假分式,n≥mPn(x)Qm(x)为真分式,n<m\begin{cases} \frac{P_n(x)}{Q_m(x)}为假分式, & n \geq m \\ \frac{P_n(x)}{Q_m(x)}为真分式, & n < m \end{cases} {Qm(x)Pn(x)为假分式,Qm(x)Pn(x)为真分式,n≥mn<m 假分式可使用长除法分解，此处不再赘述。 二、有理真分式的分解形式 有理真分式Pn(x)Qm(x)\frac{P_n(x)}{Q_m(x)}Qm(x)Pn(x)可分解成如下四种形式： Ax−a,A(x−a)l,Mx+Nx2+px+q,Mx+N(x2+px+q)l\frac{A}{x-a},\frac{A}{(x-a)^l},\frac{Mx+N}{x^2+px+q},\frac{Mx+N}{(x^2+px+q)^l} x−aA,(x−a)lA,x...
递推方程的几种解法
一、常系数线性齐次递推方程 1. 定义 {H(n)−a1(n−1)−a2H(n−2)−...−akH(n−k)=0H(0)=b0H(1)=b1H(2)=b2...H(k−1)=bk−1\left\{ \begin{aligned} &H(n)-a_1(n-1)-a_2H(n-2)-...-a_kH(n-k)=0 \\ &H(0)=b_0 \\ &H(1)=b_1 \\ &H(2)=b_2 \\ &... \\ &H(k-1)=b_{k-1} \end{aligned} \right. ⎩⎨⎧H(n)−a1(n−1)−a2H(n−2)−...−akH(n−k)=0H(0)=b0H(1)=b1H(2)=b2...H(k−1)=bk−1 这是关于H(n)H(n)H(n)的递推方程，其中：n≥k,ak≠0n \geq k,a_k \neq 0n≥k,ak=0 2. 特征方程 递推方程的特征方程为 xk−a1xk−1−...−ak−1x−ak=0x^k-a_1x^{k-1}-...-a_{k-1}x-a_k=0 xk...
二阶常系数线性非齐次微分方程的解
LaTeX在线编辑器：Equation Editor [toc] 一、定义 二阶常系数线性齐次微分方程： y′′(x)+py′(x)+qy(x)=0y''(x)+py'(x)+qy(x)=0 y′′(x)+py′(x)+qy(x)=0 二阶常系数线性非齐次微分方程： y′′(x)+py′(x)+qy(x)=g(x)y''(x)+py'(x)+qy(x)=g(x) y′′(x)+py′(x)+qy(x)=g(x) 二阶常系数线性非齐次微分方程的通解： y(x)=齐次通解+非齐次特解=y0(x)+y∗(x)y(x)=齐次通解+非齐次特解=y_0(x)+y^*(x) y(x)=齐次通解+非齐次特解=y0(x)+y∗(x) 二、齐次通解 特征方程为 r2+pr+q=0r^2+pr+q=0 r2+pr+q=0 根据特征方程的根r1,r2r_1,r_2r1,r2的情况，设通解为 y0(x)={C1er1x+C2er2x,r1≠r2(C1+C2x)er1x,r1=r2eαx[C1cos(βx)+C2sin(βx)],r=α±...
C语言scanf函数的匹配和缓冲机制
scanf函数的数据匹配规则 数据类型 匹配规则 整型%d 两个数据间的分割符可以是空格符（ASCII=32）、换行符（ASCII=10）、制表符（ASCII=9） 浮点型%f 两个数据间的分割符可以是空格符（ASCII=32）、换行符（ASCII=10）、制表符（ASCII=9） 字符串%s 以非空白字符开始，以第一个空白字符（空格符、换行符、制表符）结束 字符型%c 两个数据间没有分割符，所有字符（包括控制字符）都能匹配 缓冲区的三种类型 缓冲区的三种类型： 全缓冲：在这种情况下，当填满标准 I/O 缓存后才进行实际 I/O 操作。全缓冲的典型代表是对磁盘文件的读写。 行缓冲：在这种情况下，当在输入和输出中遇到换行符时，才执行真正的 I/O 操作。这时，输入的字符先存放在缓冲区，等按下回车键换行时才进行实际的 I/O 操作。典型代表是键盘输入数据，标准输入（stdin）和标准输出（stdout）。 不带缓冲：也就是不进行缓冲，标准出错情况 stderr 是典型代表，这使得出错信息可以直接尽快地显示出来。 以下情况将引发缓冲区的刷新： 缓冲...
如何理解strcpy函数中的赋值语句？
关于 strcpy 函数的赋值语句 如何理解while (*s++ = *t++)？ 1234void strcpy(char *s, char *t){ while (*s++ = *t++);} 该语句等价于while (*(s++) = *(t++))。 赋值语句的结合方向是自右往左，所以从右往左读，可以将*(s++) = *(t++)拆成两条语句： 12temp = *(t++);*(s++) = temp; 也即代码段 A： 1234temp = *t;t++;*s = temp;s++; 赋值语句实际上是一个表达式，等于赋值运算符右边表达式的结果，比如a = b的结果是b。这里右边表达式是*(t++)，结果是*t（先使用，后自增），因此原代码可等价于代码段 B： 123while (*t != '\0'){ *(s++) = *(t++);} 代码段 A 和 B 结合在一起： 1234567char temp = *t;while (temp != '\0'){ ...
C语言和C++的const修饰符用法总结
已经玩了C++三年的菜鸟一枚，因此本文部分内容可能有误，请见谅。 作用：只读，不能修改。 规则：const 默认作用于其左边的东西，否则作用于其右边的东西。从右往左即可读懂。 const applies to the thing left of it. If there is nothing on the left then it applies to the thing right of it. 变量声明： 名字 声明 解释 含义 常量整型 const int a const 修饰 int 为常量整型 不能修改值，必须初始化 常量整型 int const a const 修饰 int 为常量整型 不能修改值，必须初始化 指向常量整型的变量指针 const int *a const 修饰 int 为常量整型，* 作用于常量整型 指针可修改，内容不可修改 指向常量整型的变量指针 int const *a const 修饰 int 为常量整型，* 作用于常量整型 指针可修改，内容不可修改 指向变量整型的常量指针 int* const a const ...